Exercice 4 - Partie A.2 à A.7 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 1)

2. Pour tout réel strictement positif x, démontrer que f'(x) = (1 - 2ln(x)) / x^3

Réponse : $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$

3. Valeur exacte du maximum de f

Réponse : $\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$

3. Valeur de x où ce maximum est atteint

Réponse : $\sqrt{\mathrm{e}}$ (ou $\mathrm{e}^{1/2}$)

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f

Réponse : La fonction $f$ admet un maximum égal à $\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$, atteint en $x = \sqrt{\mathrm{e}}$.

4. Déterminer l'équation réduite de la droite Delta, tangente à la courbe C_f au point A d'abscisse 1

Réponse : $y = x - 1$

5. Vérifier que pour tout réel strictement positif x, on a f''(x) = (-5 + 6ln(x)) / x^4

Réponse : $f''(x) = \dfrac{-5 + 6\ln(x)}{x^4}$

6. a. Abscisse du point d'inflexion

Réponse : $\mathrm{e}^{5/6}$

6. a. Ordonnée du point d'inflexion

Réponse : $\dfrac{5}{6\mathrm{e}^{5/3}}$

6. a. Étudier la convexité de la fonction f en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion

Réponse : $f$ concave sur $]0\,;\,\mathrm{e}^{5/6}]$, convexe sur $[\mathrm{e}^{5/6}\,;\,+\infty[$, point d'inflexion de coordonnées $(\mathrm{e}^{5/6}\,;\,\frac{5}{6\mathrm{e}^{5/3}})$

6. b. En déduire que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; e^{5/6}], on a x - 1 >= ln(x)/x^2

Réponse : $x - 1 \ge \dfrac{\ln(x)}{x^2}$

7. Justifier que, pour tout réel x appartenant à [e^{5/6} ; +\infty[, on a aussi x - 1 >= ln(x)/x^2

Réponse : $x - 1 \ge \dfrac{\ln(x)}{x^2}$ sur $[\mathrm{e}^{5/6}\,;\,+\infty[$