Exercice 2 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2022 (jour 2)

Exercice 2 (7 points) — Thèmes: Fonction logarithme et suite

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par

$$f(x) = x \ln(x) + 1$$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1-

Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0 ainsi que sa limite en $+\infty$.

2-

a-

On admet que $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on notera $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif: $f'(x) = 1 + \ln(x)$.

b-

En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$. On y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $]0; +\infty[$ et les limites.

c-

Justifier que pour tout $x \in ]0; 1[$, $f(x) \in ]0; 1[$.

3-

a-

Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

b-

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.

c-

En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif: $f(x) \ge x$.

4-

On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0$ élément de l'intervalle $]0; 1[$ et pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1} = f(u_n)$$

a-

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a: $0 < u_n < 1$.

b-

Déduire de la question 3c la croissance de la suite $(u_n)$.

c-

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.