Exercice 4 - Partie C (Questions 1 et 3) · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 2)

Thème : Calcul intégral · Tiré du sujet Jour 2 (2026)

Énoncé

Partie C

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e−x(x2−3x+2)f(x) = \mathrm{e}^{-x}(x^2 - 3x + 2) et on note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1.

Étudier le signe de la fonction ff sur R\mathbb{R}.

3. a.

On note II l'intégrale définie par: I=∫01f(x) dxI = \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que I=1−1eI = 1 - \frac{1}{\mathrm{e}}.

3. b.

Interpréter graphiquement ce résultat.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Étudier le signe de la fonction f sur R.

Réponse : f(x)>0f(x) > 0 sur ]−∞;1[∪]2;+∞[]-\infty ; 1[ \cup ]2 ; +\infty[, f(x)=0f(x) = 0 pour x∈{1,2}x \in \{1, 2\}, et f(x)<0f(x) < 0 sur ]1;2[]1 ; 2[.

3. a. À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que I = 1 - 1/e.

Réponse : I=1−1eI = 1 - \frac{1}{\mathrm{e}}

3. b. Interpréter graphiquement ce résultat.

Réponse : L'intégrale II représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x = 0 et x=1x = 1. Cette aire vaut 1−1e1 - \frac{1}{\mathrm{e}}.

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