Exercice 4 - Partie B · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 1)

Exercice 4 (suite)

EXERCICE 4 (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Partie B

On considère la suite $(I_n)$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par:$$I_n = \int_1^n \frac{\ln(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x.$$

1.

Donner une interprétation graphique de $I_n$ pour $n$ un entier naturel non nul.

2.

Démontrer que la suite $(I_n)$ est croissante.

3.

On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,\mathrm{d}x$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.

from math import *

S=1/(2*exp(1))

for i in range (2,10):

S =...

print(S) Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé (compléter l'instruction de la boucle pour S =...):

4.

À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$,$$I_n = \frac{n - 1 - \ln(n)}{n}$$

5.

Calculer la limite de la suite $(I_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n =$