Exercice 3 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 1)

Exercice 3

Exercice 3 (5 points)

Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7% des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.

Source: https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext

On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.

Partie A

1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.

On note $I$ l'événement: « l'adulte a déjà été infecté par la COVID 19 ».

Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?

2. On prélève un échantillon de 100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.

a.

Justifiez que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

$n =$

$p =$

b.

Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

c.

Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.

d.

Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 2 personnes infectées dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.

e.

Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X \le n) > 0{,}9$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.