Exercice 1 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 2)

Toutes les probabilités, sauf indication contraire, seront arrondies à $10^{-3}$ dans cet exercice.

« Le virus du chikungunya, transmis à l'homme par la piqûre du moustique tigre provoque chez les patients des douleurs articulaires aiguës qui peuvent être persistantes. En 2005, une importante épidémie de chikungunya a touché les îles de l'Océan Indien et notamment l'île de La Réunion, avec plusieurs centaines de milliers de cas déclarés. En 2007, la maladie a fait son apparition en Europe, puis fin 2013, aux Antilles et a atteint le continent américain en 2014 ».

(https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya)

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus.

Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes:

la probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de $0{,}999$;

la probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de $0{,}005$.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population cible.

Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle:

$M$ l'événement: « l'individu choisi est atteint du chikungunya ».

$T$ l'événement: « le test de l'individu choisi est positif ».

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à $0{,}95$.

Partie C: Étude sur un échantillon

Pendant l'épidémie, on admet que la probabilité d'être atteint du chikungunya sur l'île de La Réunion est de $0{,}36$.

On considère un échantillon de $n$ individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant le nombre d'individus infectés dans cet échantillon parmi les $n$ tirés au sort.

On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}36$.

Déterminer à partir de combien d'individus $n$ la probabilité de l'événement « au moins un des $n$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus » est supérieure à $0{,}99$. Expliquer la démarche.

$n =$