Exercice 1 · Bac Mathématiques Asie 2026 (jour 1)

1. Donner la valeur de $p_1$

Réponse : $\frac{1}{2}$

1. Montrer que $p_2 = \frac{17}{30}$

Réponse : $p_2 = P(T_1)P(T_2 \mid T_1) + P(\overline{T_1})P(T_2 \mid \overline{T_1}) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{17}{30}$

2. Compléter l'arbre de probabilité : probabilité de la branche vers $\overline{T_n}$

Réponse : $1 - p_n$

2. Compléter l'arbre de probabilité : probabilité de la branche $T_n \to \overline{T_{n+1}}$

Réponse : $\frac{1}{5}$

2. Compléter l'arbre de probabilité : probabilité de la branche $\overline{T_n} \to T_{n+1}$

Réponse : $\frac{1}{3}$

2. Compléter l'arbre de probabilité : probabilité de la branche $\overline{T_n} \to \overline{T_{n+1}}$

Réponse : $\frac{2}{3}$

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1} = \frac{7}{15}p_n + \frac{1}{3}$

Réponse : $p_{n+1} = p_n \times \frac{4}{5} + (1 - p_n) \times \frac{1}{3} = \frac{7}{15}p_n + \frac{1}{3}$

4. a. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{7}{15}$

Réponse : $u_{n+1} = \frac{7}{15}u_n$

4. b. Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$

Réponse : $-\frac{1}{8}\left(\frac{7}{15}\right)^{n-1}$

4. c. En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$

Réponse : $\frac{5}{8} - \frac{1}{8}\left(\frac{7}{15}\right)^{n-1}$

5. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$

Réponse : $\frac{5}{8}$

5. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice

Réponse : À long terme, la probabilité que le tireur atteigne le centre de la cible au $n$-ième tir se rapproche de $\frac{5}{8} = 0,625$.

6. Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_n$ soit supérieur ou égal à 0,6

Réponse : ```python def seuil(): n = 1 p = 0.5 while p < 0.6: n = n + 1 p = (7/15) * p + 1/3 return n ```

7. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $p_n \geq 0,6$

Réponse : $n \geq 4$