Exercice 3 · Bac Mathématiques Asie 2023 (jour 1)

Pour $k = 1$ puis pour $k = 0{,}2$ : À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = kx$ pour $k = 1$

Réponse : 0

Pour $k = 0{,}2$ : conjecturer le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = kx$

Réponse : 2

2.(a) Calculer $f'(x)$.

Réponse : $\frac{1}{x} - 1$ / $\frac{1-x}{x}$

2.(b) Valeur exacte des extrema de $f$

Réponse : -1

2.(b) Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.

Réponse : $f$ est strictement croissante sur $]0 ; 1]$ et strictement décroissante sur $[1 ; +\infty[$, admettant un maximum en $1$ égal à $-1$.

2.(c) En déduire le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = x$.

Réponse : 0

3.(a) Si $g\left(\frac{1}{k}\right) < 0$, nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$

Réponse : 0

3.(a) Si $g\left(\frac{1}{k}\right) = 0$, nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$

Réponse : 1

3.(a) Si $g\left(\frac{1}{k}\right) > 0$, nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$

Réponse : 2

3.(b) Calculer $g\left(\frac{1}{k}\right)$ en fonction du réel $k$.

Réponse : $-\ln(k) - 1$

3.(c) Montrer que $g\left(\frac{1}{k}\right) > 0$ équivaut à $\ln(k) < -1$.

Réponse : $g\left(\frac{1}{k}\right) > 0 \Leftrightarrow -\ln(k) - 1 > 0 \Leftrightarrow -\ln(k) > 1 \Leftrightarrow \ln(k) < -1$

3.(d) Déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation $\ln(x) = kx$ possède exactement deux solutions.

Réponse : $]0 ; e^{-1}[$

3.(e) Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\ln(x) = kx$.

Réponse : Si $k \in ]0 ; e^{-1}[$, exactement deux solutions. Si $k = e^{-1}$, exactement une solution. Si $k \in ]e^{-1} ; +\infty[$, aucune solution.