Exercice 4 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 2)

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l'évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.

L'objectif de cet exercice est d'étudier cette modélisation.

La température est exprimée en degré Celsius et le temps est exprimé en minute.

Dans tout l'exercice, on se place sur l'intervalle de temps $[0~;~10]$.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie B: Étude de la fonction $f$ (suite)

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\;;\; 10]$ par

$$f(t) = (60t + 40)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$$

On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps $t_1$ et $t_2$, exprimés en minute, par

$$\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d}t$$

3. a)

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que

$$\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t = 320 - \frac{800}{\mathrm{e}^2}$$

3. b)

En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.