Exercice 1 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 1)

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$, représentée par la courbe $C$ ci-dessous.

La droite $T$ est tangente à la courbe $C$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$, est définie par $f(x) = (4x - 2)\mathrm{e}^{-x+1}$.

On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

Partie B

2.b.

On admet que $F(x) = (-4x - 2)\mathrm{e}^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale

$$I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x)\,\mathrm{d}x$$

3.

Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.

Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\frac{3}{2}\,;\,8\right]$.

L'unité de longueur est le mètre.

3.a.

Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $\mathrm{D}$.

3.b.

La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste.

L'artiste retenue prévoit de couvrir environ $75\,\%$ de la surface du mur.

Sachant qu'une bombe aérosol de $150\text{ mL}$ permet de couvrir une surface de $0{,}8\text{ m}^2$, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.