Exercice 4 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 2)

Partie C: étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la question partie B.2 On rappelle que, pour tout réel $x$, $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\mathrm{e}^{-5x+1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0{,}2$, on définit $I_m$ par $I_m = \displaystyle\int_{0{,}2}^m f(x)\,\mathrm{d}x$.

6.a.

Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\mathbf{R}$ par $F(x) = \left(-\frac{6}{5}x^2 - \frac{22}{25}x + \frac{28}{125}\right)\mathrm{e}^{-5x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$.

6.b.

Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ? Interpréter graphiquement ce résultat.