Exercice 1 - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 1)

Exercice 1 (6 points)

Pour accéder au réseau privé d'une entreprise depuis l'extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante:

25 % des connexions transitent via le serveur A;

15 % des connexions transitent via le serveur B;

le reste des connexions s'effectue via le serveur C.

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs:

90 % des connexions via le serveur A sont stables;

80 % des connexions via le serveur B sont stables;

85 % des connexions via le serveur C sont stables.

Les parties A et B sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable est égale à $0{,}145$.

3. On s'intéresse à la variable aléatoire $F_n$ égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de $n$ connexions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$, où $X_n$ est la variable aléatoire définie à la question 2 (qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}145$).

a.

Calculer l'espérance $E(F_n)$.

b.

On admet que $V(F_n) = \dfrac{0{,}123975}{n}$.

Vérifier que: $P(|F_n - 0{,}145| \ge 0{,}1) \le \dfrac{12{,}5}{n}$.

c.

Un responsable de l'entreprise étudie un échantillon de $1\,000$ connexions et constate que pour cet échantillon $F_{1000} = 0{,}3$. Il soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?