Exercice 1 - Partie B.2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 2)

Exercice 1 (4 points)

Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.

Il a été constaté que:

91 % du stock de tomates est commercialisable;

60 % du stock de tomates provient du fournisseur A;

parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de 95 %.

On choisit au hasard une tomate dans le stock.

On désigne par:

$A$ l'événement « La tomate provient du fournisseur A »;

$B$ l'événement « La tomate provient du fournisseur B »;

$C$ l'événement « La tomate est commercialisable ».

Pour un événement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$.

Partie B

On rappelle que $9\,\%$ des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

2. On constitue d'sormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates.

On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$.

On admet que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}09$.

a.

Calculer l'espérance $E(F_n)$ et exprimer la variance $V(F_n)$ en fonction de $n$.

b.

Démontrer que $P(0{,}04 < F_n < 0{,}14) \ge 1 - \dfrac{32{,}76}{n}$.

c.

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 500 tomates. Il s'aperçoit que 55 tomates ne sont pas commercialisables. Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse.