Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2020 · LK · Teil A · Analysis

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f \colon x \mapsto \sin x$ und $g \colon x \mapsto x$. Die Graphen von $f$ und $g$ haben in ihrem einzigen gemeinsamen Punkt $O(0|0)$ die gleiche Steigung.

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = x\cdot e^{-x}$ und $x \in \mathbb{R}$. Betrachtet werden die Dreiecke mit den Eckpunkten $O(0\mid 0)$, $P(a\mid 0)$ und $Q(a\mid f(a))$ mit $a \in \mathbb{R}^+$.

a

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt jedes dieser Dreiecke mit dem Term $\frac{1}{2}a^2 e^{-a}$ bestimmt werden kann. [2 BE]

b

Unter den betrachteten Dreiecken hat eines den größten Flächeninhalt. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$. [3 BE]

$a =$

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f \colon x \mapsto \sin x$ und $g \colon x \mapsto x$. Die Graphen von $f$ und $g$ haben in ihrem einzigen gemeinsamen Punkt $O(0|0)$ die gleiche Steigung.

a

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$, der Graph von $g$ und die Gerade mit der Gleichung $x = \pi$ einschließen.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f \colon x \mapsto \sin x$ und $g \colon x \mapsto x$. Die Graphen von $f$ und $g$ haben in ihrem einzigen gemeinsamen Punkt $O(0|0)$ die gleiche Steigung.

b

Geben Sie eine Gleichung einer Tangente an den Graphen von $f$ an, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Die Tangente verläuft parallel zum Graphen von $g$.

Die Tangente enthält nicht den Punkt $O$.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -k \cdot (x^4 - 4x^3)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Alle Funktionen der Schar haben die Nullstellen $0$ und $4$. Die Abbildung stellt zwei Graphen der Schar dar.

a

Bestimmen Sie die x-Koordinate des Hochpunkts des Graphen von $f_k$.

$x =$

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto -k \cdot (x^4 - 4x^3)$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Alle Funktionen der Schar haben die Nullstellen $0$ und $4$. Die Abbildung stellt zwei Graphen der Schar dar.

b

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das die Graphen von $f_k$ und $f_{k+1}$ einschließen, für alle Werte von $k$ den gleichen Inhalt hat.

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben mit $f_a(x) = a \cdot (x - 2)^3$ und $x \in \mathbb{R}$.

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben mit $f_a(x) = a \cdot (x-2)^3$ und $x \in \mathbb{R}$.

a

Zeigen Sie, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ mit $F(x) = \frac{1}{2} \cdot (x-2)^4 + 3$ eine Stammfunktion von $f_2$ ist. [1 BE]

b

Untersuchen Sie mithilfe von Skizzen, für welche Werte von $a$ sich unter den Stammfunktionen von $f_a$ solche befinden, die nur negative Funktionswerte haben. [4 BE]

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben mit $f_a(x) = a \cdot (x - 2)^3$ und $x \in \mathbb{R}$.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $(4 \mid h(4))$.