Abitur Rheinland-Pfalz Mathematik 2022 · GK · Teil B · Stochastik (CAS)

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10 % der Pakete haben das Ziel A, 7 % das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen. 5 % der Pakete haben eine Masse von mehr als 10 kg und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind 8 % schwer.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Paketen

genau neun das Ziel B haben.

weniger als neun das Ziel B haben.

b)

Unter 100 zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel B. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die Anzahl von Paketen mit dem Ziel B unter 100 zufällig ausgewählten Paketen.

Im Paketzentrum werden 20 Pakete zufällig ausgewählt.

c)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 20 ausgewählten Paketen keines das Ziel C hat, beträgt etwa 54 %. Ermitteln Sie den Anteil der Pakete mit dem Ziel C unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden.

d)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang kann mit dem Term

$$0{,}9^{14} \cdot \sum_{i=0}^3 \binom{6}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{6-i}$$

berechnet werden. Geben Sie ein passendes Ereignis an.

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10 % der Pakete haben das Ziel A, 7 % das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen. 5 % der Pakete haben eine Masse von mehr als 10 kg und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind 8 % schwer.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen. $5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

e)

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [3 BE]

$S$

$\overline{S}$

Summe

$Z$

$\overline{Z}$

Summe

f)

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Pakete mit dem Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den Paketen, die nicht schwer sind. [3 BE]

g)

Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind $2\,\%$ schwer. Entscheiden Sie, ob der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, kleiner als $5\,\%$, gleich $5\,\%$ oder größer als $5\,\%$ ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung, ohne diesen Anteil zu berechnen. [3 BE]

kleiner als 5 %

gleich 5 %

größer als 5 %

Betrachtet wird die Gruppe der in Deutschland lebenden Personen, die eine Pkw-Fahrerlaubnis haben. 47,5 % dieser Personen interessieren sich für den Kauf eines Elektroautos, 43,4 % kaufen in Bioläden ein, 34,7 % interessieren sich nicht für den Kauf eines Elektroautos und kaufen nicht in Bioläden ein.

a)

Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

Geben Sie die Werte in Prozent an (z. B. 25,6).

$E$

$\bar{E}$

Summe

$B$

$\bar{B}$

Summe

100 %

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

In der betrachteten Gruppe interessieren sich unter denjenigen, die in Bioläden einkaufen, mehr als die Hälfte für den Kauf eines Elektroautos.

Betrachtet wird die Gruppe der in Deutschland lebenden Personen, die eine Pkw-Fahrerlaubnis haben. 47,5 % dieser Personen interessieren sich für den Kauf eines Elektroautos, 43,4 % kaufen in Bioläden ein, 34,7 % interessieren sich nicht für den Kauf eines Elektroautos und kaufen nicht in Bioläden ein.

c)

Aus der betrachteten Gruppe werden 30 Personen zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Personen die Anzahl derjenigen, die nicht am Kauf eines Elektroautos interessiert sind, mindestens doppelt so groß ist wie die Anzahl derjenigen, die dieses Interesse haben.

%

Unter den Elektroautos eines Herstellers weisen $30\,\%$ mindestens eines der beiden Ausstattungsmerkmale $\text{A}$ und $\text{B}$ auf; $10\,\%$ der Elektroautos dieses Herstellers weisen das Merkmal $\text{A}$ auf. Die beiden Merkmale treten bei den Elektroautos des Herstellers unabhängig voneinander auf. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

a

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers keines der beiden Merkmale aufweist.

[1 BE]

b

Ermitteln Sie den im Baumdiagramm genannten Anteil $x$. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers das Merkmal B aufweist, und begründen Sie Ihre Angabe.

[4 BE]

d

Zehn Elektroautos des Herstellers werden nacheinander betrachtet. Ermitteln Sie, wie viele Autos mit dem Merkmal A sich unter diesen zehn Autos mindestens befinden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ von den ersten drei betrachteten Autos mindestens eines das Merkmal A aufweist.

[4 BE]

Unter den Elektroautos eines Herstellers weisen $30\,\%$ mindestens eines der beiden Ausstattungsmerkmale $\text{A}$ und $\text{B}$ auf; $10\,\%$ der Elektroautos dieses Herstellers weisen das Merkmal $\text{A}$ auf. Die beiden Merkmale treten bei den Elektroautos des Herstellers unabhängig voneinander auf. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

c

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term

$$1 - 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^9 - 0{,}7^{10}$$

berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an.

[3 BE]