Aufgabe HT 3: Zeitdilatation am Beispiel der Lichtuhr · Abitur NRW Physik GK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2023

Aufgabe: Zeitdilatation am Beispiel der Lichtuhr

Albert Einstein begründete 1905 die Spezielle Relativitätstheorie (SRT), vor allem um unterschiedliche Phänomene des Elektromagnetismus zu erklären. Sie hat weitreichende Folgen für die gesamte Physik, auch für die Kinematik. Eine dieser Folgen ist die sogenannte „Zeitdilatation“.

Teilaufgabe 1: Gedankenexperiment „Lichtuhr“

a) Bei der Gewinnung von Erkenntnissen in der SRT werden oft keine Realexperimente durchgeführt.

• Erläutern Sie den Grund dafür, dass in der SRT häufig keine Realexperimente herangezogen werden. [2 Punkte]

Das Phänomen der relativistischen Zeitdilatation kann mittels der sogenannten „Lichtuhr“, eines sogenannten „Gedankenexperiments“, illustriert werden.

Die hier vorgestellte Lichtuhr besteht aus zwei planparallelen Spiegeln mit festem Abstand $L$ und einer im Bezugssystem der Spiegel ruhenden Uhr als Zeitmessgerät. Licht bewegt sich zwischen den beiden Spiegeln hin und her, und die Uhr wird genutzt, um die Laufzeiten des Lichts zwischen den Spiegeln im Ruhebezugssystem zu messen (siehe Abbildung 1 (links)).

• Berechnen Sie für $L = 6 \cdot 10^6\text{ m}$ die Zeit $T$, die das Licht für den Weg von einem Spiegel zum anderen braucht. [3 Punkte]

Hinweis: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt etwa $c = 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$.

In einem zweiten Bezugssystem sollen sich die beiden Spiegel geradlinig gleichförmig in der gleichen Richtung und mit der gleichen Geschwindigkeit $v$ bewegen. (Diese Bewegungsrichtung soll aus Sicht des ersten Bezugssystems senkrecht zur Bewegungsrichtung des Lichtstrahls verlaufen.) In diesem zweiten Bezugssystem bilden die Hin- und Rückwege des Lichts eine Zickzacklinie (siehe Abbildung 1 (rechts)).

• Erklären Sie, weshalb der Spiegelabstand $L$ in beiden Bezugssystemen übereinstimmt, obwohl in der SRT die Relativität von Längen gilt. [3 Punkte]

Im zweiten Bezugssystem besitzt jedoch der Lichtweg zwischen den Spiegeln nicht die Länge $L$ (wofür das Licht die Zeit $T$ benötigen würde), sondern die Länge $L'$ (wofür es die Zeit $T'$ benötigt), da sich die Spiegel in diesem Bezugssystem in Bewegung befinden (siehe Abbildung 2).

Die Größen $L, T, L', T'$ und $v$ erfüllen die folgenden Gleichungen:

$$(L')^2 = L^2 + (vT')^2 \qquad L = cT \qquad L' = cT'$$

• Begründen Sie unter Verwendung von Abbildung 2, dass die linke Gleichung gilt. [3 Punkte]

Die beiden anderen Gleichungen lassen (auch ohne Rechnung) erkennen, dass das Einsteinsche Postulat der „Konstanz der Lichtgeschwindigkeit“ vorausgesetzt wird.

• Begründen Sie diese Feststellung. [2 Punkte]

b) Ausgehend von diesen drei Gleichungen lässt sich mit einigen Umformungen die folgende Formel der Zeitdilatation ableiten:

$$T' = \frac{T}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Ist somit eine Zeit $T$ im Ruhebezugssystem der Lichtuhr gegeben, lässt sich die Zeit $T'$ in einem Bezugssystem berechnen, das sich relativ zum Ruhebezugssystem mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt.

• Berechnen Sie $T'$ für $T = 100\text{ s}$ und $v = 0{,}80\text{ c}$. [3 Punkte]

• Zeigen Sie mit einem Beispiel, dass bei genügend kleinen Geschwindigkeiten näherungsweise $T = T'$ gilt. [4 Punkte]

• Begründen Sie, dass $T'$ bei jeder Geschwindigkeit $v$ mindestens so groß wie $T$ ist. [3 Punkte]

Teilaufgabe 2: Zeitdilatation und Längenkontraktion in der SRT

a) Auf einer im Ruhebezugssystem einer Raumstation unbewegten Uhr sollen 2,0 Minuten vergehen (siehe Abbildung 3). Aus Sicht des Ruhebezugssystems einer Rakete, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zur Raumstation bewegt, sollen währenddessen 4,0 Minuten vergehen.

• Berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit $v$. [4 Punkte]

Die Geschwindigkeit soll nun weiterhin $v$ betragen, allerdings sollen nun, anders als zuvor, auf einer im Ruhebezugssystem der Rakete ruhenden Uhr 4,0 Minuten vergehen (siehe Abbildung 4).

• Entscheiden Sie mithilfe der folgenden Auswahl, welche Zeit in dieser Phase aus Sicht der Raumstation (d. h. in deren Ruhebezugssystem) verstreicht: [3 Punkte]

Es wird nun angenommen, dass die beiden Uhren (die relativ zur Raumstation ruhende Uhr und die relativ zur Rakete ruhende Uhr) gerade in dem einen Moment auf „0:00 Uhr“ stehen, in dem die Rakete die Raumstation passiert. Dann werden etwas später, in beiden Bezugssystemen in unterschiedlicher Reihenfolge, beide Uhren sukzessive auf „0:01 Uhr“ umspringen.

• Beurteilen Sie, welche der beiden Uhren aus Sicht der Rakete zuerst auf „0:01 Uhr“ wechselt. [3 Punkte]

b) Neben der Zeitdilatation ist die Längenkontraktion eine weitere, für die Kinematik bedeutsame Konsequenz der SRT.

Wird beispielsweise die Entfernung zwischen vorderem und hinterem Ende der Rakete gemessen, so ergibt sich im Ruhebezugssystem der Rakete die sogenannte Ruhelänge $\Delta x$. Im Ruhebezugssystem der Raumstation dagegen wird zwischen vorderem und hinterem Ende der Rakete eine kürzere Länge $\Delta x'$ gemessen.

• Entscheiden Sie, welche der folgenden Formeln $\Delta x$ und $\Delta x'$ physikalisch richtig verknüpft: [3 Punkte]

Die Ruhelänge der Rakete soll $\Delta x = 50\text{ m}$ und die Geschwindigkeit $v = 0{,}95\text{ c}$ betragen.

• Berechnen Sie, welche Länge $\Delta x'$ die Rakete im Bezugssystem der Raumstation hat. [3 Punkte]

Es wird nun angenommen, dass die Rakete von Beginn an in der entgegengesetzten Richtung geflogen ist.

• Erläutern Sie, wie sich diese Annahme auf die Stärke der Längenkontraktion auswirkt. [4 Punkte]

Teilaufgabe 3: Zeitdilatation in der Technik

Erkenntnisse der SRT sind nicht nur bei klassischen Realexperimenten zu berücksichtigen, etwa beim Verständnis verschiedener Experimente mit Teilchenbeschleunigern, sondern auch bei komplexen technischen Systemen wie etwa Satellitennavigationssystemen.

• Geben Sie zwei weitere Realexperimente an, zu deren Verständnis man Ergebnisse der SRT benötigt. [2 Punkte]

Bei modernen Navigationssystemen wie beispielsweise GPS werden Funksignale zwischen Navigationsgerät (etwa im Auto oder Flugzeug) und mindestens drei im Erdorbit befindlichen Satelliten (für die drei Raumkoordinaten x, y und z) ausgetauscht (von den Satelliten in Richtung des Navigationsgeräts). Die Signallaufzeiten dienen als Navigationsgrundlage.

• Erklären Sie qualitativ, weshalb derartige Navigationssysteme die Zeitdilatation unbedingt einbeziehen müssen. [3 Punkte]

Die für das Navigationssystem GPS notwendige zeitliche Genauigkeit wird innerhalb der Satelliten durch hochpräzise Atomuhren sichergestellt. Das GPS-Gerät des Empfängers (das sich beispielsweise in einem Auto befindet) verfügt in der Regel jedoch über keine Atomuhr zur präzisen Zeitmessung.

• Stellen Sie dar, weshalb Signale von vier statt drei GPS-Satelliten genauere Zeitmessungen am Standort des Empfängers erlauben. [2 Punkte]