Aufgabe 1 · Abitur NRW Physik LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2021

Aufgabe: Zerfall atmosphärischer Myonen

Albert Einstein begründete im Jahre 1905 die Spezielle Relativitätstheorie (SRT), eine Erweiterung der Newtonschen Mechanik mit wichtigen Konsequenzen für Kinematik und Dynamik wie auch eine Revolution des wissenschaftlichen Weltbilds insgesamt.

Die Voraussagen der SRT lassen sich mit vielen Experimenten bestätigen. Einen besonders eindrucksvollen Beleg liefert die Analyse des Zerfalls atmosphärischer Myonen.

Teilaufgabe 1: Zeitdilatation und Längenkontraktion [22 Punkte]

Um den Zerfall atmosphärischer Myonen untersuchen zu können, benötigt man zunächst Kenntnisse über Zeitdilatation und Längenkontraktion.

a) Eine Rakete besitzt an ihrer Spitze eine Lampe, die in regelmäßigen Abständen kurz aufleuchtet. Im Raketenbezugssystem wird dabei zwischen zwei aufeinanderfolgenden Leuchtereignissen die Zeit $\Delta t_1$ gemessen. Im Erdbezugssystem, in dem sich die Rakete geradlinig-gleichförmig mit hoher Geschwindigkeit $v$ bewegt, wird stattdessen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Leuchtereignissen die Zeit $\Delta t_2$ gemessen.

Unter der Voraussetzung, dass es sich bei den Bezugssystemen um Inertialsysteme im Sinne der SRT handelt, gilt folgender Zusammenhang: $$\Delta t_2 = \gamma \cdot \Delta t_1$$

Dabei ist der sogenannte Lorentzfaktor $\gamma$ definiert durch $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$, wobei $c = 299.792.458\text{ m/s}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist.

Es wird nun eine Rakete betrachtet, die sich mit einer Geschwindigkeit von $v = 0{,}7\,c$ relativ zur Erde bewegt und deren Raketenlampe im Raketenbezugssystem zweimal pro Sekunde blinkt. Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Leuchtereignissen ist also in diesem Bezugssystem $\Delta t_1 = 0{,}5\text{ s}$.

a1)

a2)

Entscheiden Sie begründet, in welchem der beiden Bezugssysteme, Raketen- oder Erdbezugssystem, die Blinkfrequenz der Raketenlampe größer ist:

a3)

Erklären Sie, warum $\Delta t_1$ und $\Delta t_2$ in derselben Messung nicht mit nur einer einzigen Uhr bestimmt werden können:

b) Die Entfernung zwischen dem vorderen und hinteren Ende einer Rakete wird gemessen. Im Raketenbezugssystem wird eine Entfernung $\Delta x_1$, die sogenannte Ruhelänge, gemessen. Im Erdbezugssystem, in dem sich die Rakete geradlinig-gleichförmig mit hoher Geschwindigkeit $v$ bewegt, wird stattdessen zwischen dem vorderen und hinteren Ende eine Entfernung $\Delta x_2$ gemessen.

Unter der Voraussetzung, dass es sich bei den Bezugssystemen um Inertialsysteme im Sinne der SRT handelt, gilt ein Zusammenhang zwischen beiden Größen: $$\Delta x_2 = \frac{1}{\gamma} \cdot \Delta x_1$$

Eine Rakete der Länge $\Delta x_1 = 100\text{ m}$ kann somit in einem Inertialsystem, in dem die Rakete eine ausreichend hohe Geschwindigkeit $v$ besitzt, die Länge $\Delta x_2 = 50\text{ m}$ besitzen.

b1)

$\cdot c$

b2)

Entscheiden Sie begründet, ob ein Inertialsystem existiert, in dem für die Rakete eine größere Länge gemessen wird als im Raketenbezugssystem:

c)

Ein Zug bewegt sich geradlinig gleichförmig entlang eines Gleises vorwärts. Dabei wird vorhergesagt, dass es bei einer relativistisch bedeutsamen Geschwindigkeit zum Entgleisen des Zuges würde, da die Radachse des Zuges so stark kontrahiert wird, dass die Räder nicht mehr auf den Gleisen aufliegen (siehe Abbildung 1).

Hinweis: Dies ist ein Gedankenexperiment, bei dem die tatsächliche technische Realisierbarkeit für die Diskussion belanglos ist.

Erklären Sie, weshalb diese Vorhersage nicht zutrifft:

Teilaufgabe 2: Relativistische Phänomene atmosphärischer Myonen [32 Punkte]

Die Teilchenart der sogenannten Myonen wurde in den Jahren 1936/1937 von C. D. Anderson und S. Neddermeyer sowie von J. C. Street und E. C. Stevenson entdeckt.

a) Myonen unterscheiden sich von ihren „Verwandten“, den Elektronen, insbesondere durch ihre größere Masse. Zudem sind Myonen im Gegensatz zu Elektronen instabil, mit einer Halbwertszeit von $T_{1/2} = 1{,}523 \cdot 10^{-6}\text{ s}$.

Aufgrund ihrer Instabilität werden beispielsweise von einer anfänglichen Menge von $1000$ Myonen nach kurzer Zeit nur noch wenige Myonen vorhanden sein.

a)

b) Die Erdatmosphäre wird beständig von kosmischer Strahlung getroffen. In den höheren Schichten der Atmosphäre entstehen dabei zahlreiche Myonen, von denen viele Richtung Erdoberfläche fliegen. Zur Analyse dieses Flugs wird nachfolgend von einigen vereinfachenden Annahmen ausgegangen (siehe Abbildung 2):

1. Alle Myonen entstehen in der gleichen Höhe $h = 10\text{ km}$.

2. Alle Myonen haben die gleiche Geschwindigkeit $v = 0{,}995\,c$.

3. Alle Myonen bewegen sich senkrecht zur Erdoberfläche.

4. Bei ihrem Flug kommt es zu keinen Kollisionen mit Teilchen der Atmosphäre.

b1)

Zeigen Sie unter Nichtberücksichtigung relativistischer Effekte, dass von anfänglich jeweils $4{,}229 \cdot 10^6$ Myonen mittels eines Detektors auf der Erdoberfläche rechnerisch gesehen nur ein einziges Myon registriert wird:

b2)

Erklären Sie den experimentellen Befund, dass tatsächlich deutlich mehr Myonen registriert werden, einmal aus Sicht eines mitbewegten Bezugssystems (in dem das Myon ruht) und einmal aus Sicht des Erdbezugssystems:

b3)

c) Als massebehaftete Teilchen bewegen sich die Myonen stets langsamer als Licht.

c1)

Erklären Sie, wie viele Myonen man registrieren würde, wenn die Teilchen sich näherungsweise mit Lichtgeschwindigkeit bewegten:

c2)

Begründen Sie qualitativ und mit Bezug auf den oben beschriebenen Entstehungsprozess der Myonen, warum Annahme 3 eine sehr grobe Vereinfachung darstellt:

c3)

Ohne Vereinfachung 3 fiele die berechnete Anzahl detektierter Myonen geringer aus. Begründen Sie diese Aussage qualitativ:

c4)

Beurteilen Sie qualitativ und mit Bezug auf die Wechselwirkung während der Kollision, wie sich die berechnete Zahl der detektierten Myonen verändern würde, wenn die obige Vereinfachung 4 nicht vorgenommen werden würde:

Teilaufgabe 3: Zeitdilatation in Spezieller und Allgemeiner Relativitätstheorie [11 Punkte]

a) Im Jahr 1975 wurden Atomuhren 15 Stunden lang in einem kreisenden Flugzeug transportiert, in einer Höhe von 8 bis 10 km. Der Stand dieser Uhren wurde mittels Laserimpulsen mit dem Stand gleichartiger Uhren auf dem Erdboden verglichen. Für einen fünfzehnstündigen Flug sagt die SRT voraus, dass die kreisende Uhr im Vergleich zur Erduhr „nachgeht“, nämlich 5,7 Nanosekunden. Tatsächlich wurde jedoch gemessen, dass die kreisende Uhr „vorgeht“, nämlich 47,2 Nanosekunden. Die SRT kann also diesen Unterschied zwischen Theorie und Experiment von 52,9 Nanosekunden nicht erklären. Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) dagegen kann diesen Unterschied auf die Höhendifferenz zwischen kreisender Uhr und Erduhr zurückführen.

a)

Begründen Sie qualitativ, warum die ART den Gegensatz zwischen SRT und Experiment auf die Höhendifferenz zwischen kreisender Uhr und Erduhr zurückzuführen vermag:

b) Im Falle von kreisenden Flugzeugen ist die genaue Berechnung zeitlicher Differenzen vergleichsweise kompliziert. In der Nähe eines massereichen Körpers kann die allgemein-relativistische Zeitdilatation näherungsweise durch die folgende Formel beschrieben werden: $$\Delta t = \sqrt{1 - \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2 \cdot r}} \cdot \Delta t_{\text{entfernt}}$$

Dabei ist $\Delta t_{\text{entfernt}}$ diejenige Zeit, die auf einer relativ zur Masse $M$ ruhenden Uhr A verstreicht, die sehr weit von dieser Masse entfernt ist, und $\Delta t$ ist diejenige Zeit, die auf einer relativ zur Masse $M$ ruhenden Uhr B verstreicht, die dieser Masse sehr nahe ist (mit Abstand $r$ zwischen Uhr und Massenmittelpunkt, siehe Abbildung 3). $c = 299.792.458\text{ m/s}$ und $G = 6{,}67430 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3/(\text{kg}\cdot\text{s}^2)$.

Der Pilot der Rakete A sieht auf seiner Uhr die Zeit $\Delta t_{\text{entfernt}} = 1\text{ min}$ verstreichen.

b1)

b2)

Die Sonnenmasse verursacht nicht nur eine Zeitdilatation im Falle von Uhren, die sich auf in der Nähe befindlichen Raketen befinden, sondern auch auf Uhren, die sich auf der fernen Erde befinden ($R = 1{,}496 \cdot 10^{11}\text{ m}$). Beurteilen Sie qualitativ die Bedeutung der von der Sonnenmasse verursachten allgemein-relativistischen Zeitdilatation für das Verstreichen der Zeit auf einer Uhr, die sich auf der Erdoberfläche befindet:

b3)

Erklären Sie, welche Eigenschaften ein Himmelskörper im Vergleich zu unserer Sonne besitzen muss, damit auf seiner Oberfläche eine sehr viel stärkere allgemein-relativistische Zeitdilatation herrschen wird als auf der Oberfläche der Sonne: