Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS

Die Bewegungen zweier Forschungs-U-Boote $\text{U}_1$ und $\text{U}_2$, die von einer Forschungsstation mithilfe eines Sonarsystems geortet werden, sollen modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden. Im Modell, das den Zeitraum von 12.20 Uhr bis 12.27 Uhr erfasst, bewegen sich beide U-Boote geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit, $\text{U}_1$ entlang der Gerade $g_1$, $\text{U}_2$ entlang der Gerade $g_2$. Die Positionen von $\text{U}_1$ um 12.20 Uhr und 12.21 Uhr werden durch die Punkte $\text{P}_0(4 \mid 14 \mid -5)$ bzw. $\text{P}_1(6 \mid 11 \mid -5)$ dargestellt, die Positionen von $\text{U}_2$ zu denselben Zeitpunkten durch $\text{Q}_0(11 \mid 9 \mid -15)$ bzw. $\text{Q}_1(9 \mid 6 \mid -13)$. Die Wasseroberfläche wird durch die $x_1x_2$-Ebene, die Lage der Forschungsstation durch den Punkt $\text{F}(12 \mid 11{,}5 \mid 0)$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $100\text{ m}$ in der Realität.

c

Ermitteln Sie die Geschwindigkeit von $U_2$ in Knoten ($1\,\mathrm{kn} \approx 1{,}852\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$).

f

Der Abstand der beiden Geraden, entlang derer sich $U_1$ und $U_2$ im Modell bewegen, ist 7. Begründen Sie, dass daraus nicht geschlossen werden kann, dass sich die U-Boote im erfassten Zeitraum bis auf 700 m nähern.

g

Von den U-Booten aus können Unterwasseraufnahmen direkt zur Forschungsstation übertragen werden, sofern ihr jeweiliger Abstand zur Station maximal 850 m beträgt. Ermitteln Sie rechnerisch, wie lange die Forschungsstation Aufnahmen von $U_1$ empfangen kann.