Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR

In einem kartesischen Koordinatensystem ist der Körper $ABCDPQRS$ mit $A(28|0|0)$, $B(28|10|0)$, $C(0|10|0)$, $D(0|0|0)$ und $P(20|0|6)$ gegeben. Der Körper ist ein schiefes Prisma, die Grundfläche $ABCD$, die Deckfläche $PQRS$ und die vier Seitenflächen sind also Parallelogramme.

Das Prisma beschreibt modellhaft den Grundkörper eines Kunstwerks aus massivem Beton, der auf einer horizontalen Fläche steht. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $0{,}1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt $G(11|3|6)$ der Deckfläche aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von $1{,}4\text{ m}$ so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt und in einer Höhe von $0{,}9\text{ m}$ über der Deckfläche endet. Ihr Durchmesser wird im Modell vernachlässigt.

a

Zeigen Sie, dass die Seitenfläche ABQP quadratisch ist. [3 BE]

b

Stellen Sie das Prisma in einem Koordinatensystem grafisch dar. [3 BE]

e

Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet. [6 BE]

(

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)

f

Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem Durchmesser von 0,8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Prismas im Punkt K. Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von K bekannt wären. [4 BE]