Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Zur Beschreibung des Wachstums einer Pflanze wird ihre Höhe gemessen. Beim Einpflanzen beträgt die Höhe der Pflanze 3 Zentimeter. Betrachtet wird im Folgenden die momentane Änderungsrate der Höhe der Pflanze, die als Wachstumsrate bezeichnet wird. Die Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(t) = \frac{3}{4}t \cdot (t+4) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}t}$ beschrieben. Dabei gibt $t$ die seit dem Einpflanzen vergangene Zeit in Wochen an und $r(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Woche. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $r$.

a)

Es gilt $r(10) < 1$. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

[2 BE]

b)

Es gibt einen Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsrate genauso groß ist wie fünf Wochen davor. Berechnen Sie diesen Zeitpunkt und stellen Sie den Sachverhalt in Abbildung 1 dar.

[4 BE]