Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{60}{a} \cdot x \cdot (x-a)^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

An einem bestimmten Sommertag hat das Strandbad an einem Badesee von 9:00 Uhr bis 21:00 Uhr geöffnet. Außerhalb der Öffnungszeiten befindet sich kein Gast im Strandbad. Am betrachteten Tag wird die Anzahl der Gäste erfasst, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad betreten. Dabei wird vereinfachend angenommen, dass an diesem Tag jeder Gast genau einmal das Strandbad betritt.

Die in $[0;12]$ definierte Funktion $g$ ist durch$$g(x) = \begin{cases} f_{11}(x) & \text{für } 0 \le x \le 11 \\ 0 & \text{für } 11 < x \le 12 \end{cases}$$festgelegt. Die Funktion $g$ beschreibt modellhaft die momentane Änderungsrate der erfassten Anzahl, die als Eingangsrate bezeichnet wird. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $g(x)$ die Eingangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$.

Die Anzahl der Gäste, die an dem betrachteten Tag bis zu einem bestimmten Zeitpunkt das Strandbad verlassen, wird ebenfalls erfasst. Die momentane Änderungsrate dieser Anzahl (Ausgangsrate) wird durch die in $[0;12]$ definierte Funktion $h$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 9:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $h(x)$ die Ausgangsrate in der Einheit $\frac{1}{\text{h}}$. In der Abbildung sind die Graphen von $g$ und $h$ dargestellt.

d)

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $w_a$ mit $w_a(x) = \frac{11}{10}\cdot f_a\left(\frac{11}{10}\cdot (12-x)\right)$ kann schrittweise aus $G_a$ erzeugt werden durch:

Streckung mit einem Faktor $s_x$ in x-Richtung

Streckung mit einem Faktor $s_y$ in y-Richtung

Spiegelung an der y-Achse

Verschiebung um 12 in positive x-Richtung

Betrachtet werden die auf $G_a$ liegenden Punkte $A(0|0)$, $B(a|0)$ und $C(x_C|f_a(x_C))$ mit $0 < x_C < a$. Auf dem Graphen von $w_a$ gibt es Punkte $A'$, $B'$ und $C'$, die den Punkten $A$, $B$ bzw. $C$ gemäß der beschriebenen Beziehung der beiden Graphen entsprechen. Geben Sie die Faktoren $s_x$ und $s_y$ an und beurteilen Sie folgende Aussage:

Die Dreiecke ABC und A'B'C' haben den gleichen Flächeninhalt.

e)

Begründen Sie die folgende Aussage:

Das Modell steht in Einklang damit, dass bereits ab 20:00 Uhr kein Gast mehr eingelassen wird.