Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

b)

Im fallenden Abschnitt der Bahn F gibt es einen Punkt, der auf der Höhe des Endpunkts liegt. Bestimmen Sie für diesen Punkt den Abstand vom Endpunkt.

d)

Zeichnen Sie den Graphen von $f$ für $0 \le x \le 2$.

k)

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

Für alle Punkte $(x|h(x))$ des Graphen von $h$ gilt:

$$\left(\frac{25}{16}-x\right)^2 + (2-h(x))^2 = \left(\frac{25}{16}\right)^2$$

Begründen Sie damit, dass alle Punkte des Graphen von $h$ vom Punkt $M$ den Abstand $\frac{25}{16}$ haben.

l)

Die drei folgenden Rechenschritte liefern im Zusammenhang mit der Bahn H die Lösung einer Aufgabe:

$\bullet \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{25}{16} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{25}{16} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{25}{16} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{16} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}$

$\bullet \cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} -\frac{25}{16} \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \frac{7}{16} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -\frac{25}{16} \\ 0 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} \frac{7}{16} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}\right|}$

$\bullet \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot \frac{25}{16} \approx 2,9$

Formulieren Sie die zugehörige Aufgabenstellung und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg.