Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{0{,}5x}$ und $x \in [-2; 0]$ beschrieben werden.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

a

Berechnen Sie die Länge der Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt näherungsweise als Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten.

b

Berechnen Sie den horizontalen Abstand der Kugel von der Ruhelage, wenn sie sich in der Hand der Athletin $1{,}50\text{ m}$ über dem Boden befindet.

c

Während eines Stoßes wurde die Höhe der Kugel über dem Boden an fünf Stellen gemessen. Die fünf Stellen werden im Modell durch die x-Werte $x_1$ bis $x_5$ dargestellt, die gemessenen Höhen werden mit $h_1$ bis $h_5$ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Wenn der Wert des Terms $\sum\limits_{i=1}^5 (h_i - f(x_i))$ klein ist, dann werden die gemessenen Höhen durch die Werte, die das Modell liefert, gut beschrieben.

Der Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ mit $s > 0$ lässt sich durch die Gleichung $a = \frac{0{,}8}{s} + \frac{2}{s^2}$ darstellen.

i

Leiten Sie diese Gleichung her.

k

Abbildung 2 stellt den Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ graphisch dar. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Unterscheiden sich die Weiten zweier Stöße um $2\text{ m}$, so ist der zur größeren Weite gehörende Wert von $a$ halb so groß wie der zur kleineren Weite gehörende.