Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangent… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet, das ein Fassungsvermögen von $800\text{ m}^3$ hat. Für ein bestimmtes Regenereignis wird das Volumen des Regenwassers im Auffangbecken für $0 \le x \le 5$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v$ mit $$v(x) = -\frac{5}{2}x^4 + \frac{50}{3}x^3 + 190$$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $v(x)$ das Wasservolumen in Kubikmetern.

Betrachtet wird außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $$r(x) = 10x^2 \cdot (5 - x).$$

Betrachtet wird außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(x) = 10x^2 \cdot (5 - x)$.

b)

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate des Volumens des Wassers im Auffangbecken in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ für den betrachteten Zeitraum durch $r$ beschrieben werden kann.

c)

Weisen Sie anhand des gegebenen Terms von $r$ nach, dass für den durch $0 < x < 5$ beschriebenen Zeitraum das Volumen des Wassers im Auffangbecken zu jedem Zeitpunkt zunimmt.