Aufgabe 1 (WTR 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

a) Extremstelle $x_1$ von $f$:

Lösung: $-\sqrt{2}$

a) Extremstelle $x_2$ von $f$:

Lösung: $\sqrt{2}$

a) Monotonieverhalten von $f$:

Lösung: f ist monoton zunehmend für $x \le -\sqrt{2}$ und $x \ge \sqrt{2}$ sowie monoton abnehmend für $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

b) Gleichung der Tangente $t$:

Lösung: $y = 7x - 14$

b) Zeichnen Sie den Punkt P und die Tangente t in Abbildung 1 ein.

Lösung: Der Punkt $P(3|7)$ ist auf dem Graphen $G_f$ markiert und die Gerade $t$ verläuft durch $P$ und schneidet die $x$-Achse bei $x = 2$ sowie die $y$-Achse bei $y = -14$.

c) Begründen Sie, dass $t$ und $G_f$ neben $P$ genau einen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen:

Lösung: Gemeinsame Punkte liegen bei $f(x) = 7x - 14 \iff \frac{1}{3}(x-3)^2(x+6) = 0$. Die Nullstellen sind $x=3$ (Berührpunkt $P$) und $x=-6$. Somit gibt es genau einen weiteren Schnittpunkt bei $x = -6$.