Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangent… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

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Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{100}\cdot(x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$.

Ein Mobilfunkanbieter betreibt eine Hotline, die an jedem Tag 24 Stunden erreichbar ist. Die Wartezeit eines Anrufers dieser Hotline ist abhängig vom Zeitpunkt des Anrufs. Durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(x) = 100 \cdot f(x) = (x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$ kann die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von 8:00 Uhr bis einschließlich 22:00 Uhr beschrieben werden. Dabei bezeichnet $x$ den Zeitpunkt des Anrufs in Stunden nach 0:00 Uhr und $w(x)$ die Wartezeit in Sekunden. Nimmt $w$ beispielsweise an der Stelle $10{,}25$ den Wert von etwa $300$ an, so beträgt die Wartezeit für einen Anruf um 10:15 Uhr etwa 300 Sekunden.

b)

Im Folgenden wird die Lösung zu einer Aufgabenstellung in Bezug auf den Graphen von $f$ dargestellt:

$$f''(x) = 0 \iff x = \frac{302}{17}$$

$$f'''\left(\frac{302}{17}\right) \neq 0$$

$$f'\left(\frac{302}{17}\right) < 0$$

Geben Sie die sich daraus ergebenden Eigenschaften des Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{302}{17} \,\middle|\, f\left(\frac{302}{17}\right)\right)$ an.

e)

Ermitteln Sie rechnerisch für den Zeitraum von 8:00 Uhr bis einschließlich 22:00 Uhr den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am längsten ist, und den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am kürzesten ist.