Aufgabe MMS 1 - 1: Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon t \mapsto 25 - 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in °C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25 °C.

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g \colon t \mapsto 5 + 20\mathrm{e}^{-0{,}014t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in °C. Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

b

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 30 Minuten. Berechnen Sie $f'(30)$ und geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

e

Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen: