Aufgabe CAS 2 - Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + \frac{15}{2}x$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

Für jede reelle Zahl $u$ mit $0 < u < 3$ wird das rechtwinklige Dreieck $OPQ$ betrachtet. Für dessen Eckpunkte gilt:

$O$ ist der Koordinatenursprung.

$P$ hat die x-Koordinate $u$ und liegt auf der x-Achse.

$Q$ hat die x-Koordinate $u$ und liegt auf dem Graphen der gegebenen Funktion $f$.

a)

Bestimmen Sie für $u = 2$ die Längen der Seiten des zugehörigen Dreiecks $OPQ$.

b)

Rotiert eines der Dreiecke $OPQ$ um seine Seite $\overline{OP}$, so entsteht ein Körper. Begründen Sie, dass sich das Volumen des Körpers mit dem Term $\frac{1}{3}\pi \cdot (f(u))^2 \cdot u$ berechnen lässt.

c)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $u$, für den das Volumen des Körpers maximal ist.