Aufgabe 2 c-d - Beurteilende Statistik · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2025

Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttlebusse ein. Die Fahrkarten für diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden 80 % aller gebuchten Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden 90 % auch tatsächlich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt dieser Anteil mit 95 % etwas höher.

Der Tourismusverband vermutet, dass der Anteil der Radausflügler unter allen Touristen durch den Einsatz der Shuttlebusse nun $20\,\%$ beträgt. Um bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $90\,\%$ einen Schätzwert für den Anteil der Radausflügler unter den Touristen zu ermitteln, wird eine Stichprobe von $900$ zufällig ausgewählten Touristen betrachtet.

Die Abbildung zeigt die Graphen der folgenden für $p \in [0;1]$ definierten Funktionen:

$$g_1: p \mapsto p - 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{900}}$$$$g_2: p \mapsto p + 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{900}}$$

c)

In der Stichprobe werden $153$ Radausflügler gezählt. Ermitteln Sie grafisch das zu dieser Anzahl gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\,\%$ und beurteilen Sie damit, ob die Vermutung des Tourismusverbandes mit dem Stichprobenergebnis verträglich ist. [5 BE]

d)

Betrachtet wird eine Stichprobe vom Umfang $n$ mit einem Anteil $h = 0{,}17$ sowie das zu diesem Anteil gehörende Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $90\,\%$. Betrachtet wird die folgende Aussage:

Der Wert $0{,}17$ liegt in der Mitte zwischen $0{,}14$ und $0{,}20$. Trotzdem ist es möglich, dass die Annahme $p = 0{,}14$ mit dem Stichprobenergebnis nicht verträglich ist, die Annahme $p = 0{,}20$ hingegen schon.

Beurteilen Sie diese Aussage unter Verwendung der folgenden beiden Rechnungen:

$$\text{I: } 0{,}17 = 0{,}14 + 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{0{,}14 \cdot 0{,}86}{n}} \Rightarrow n \approx 359{,}8$$

$$\text{II: } 0{,}17 = 0{,}20 - 1{,}64 \cdot \sqrt{\frac{0{,}20 \cdot 0{,}80}{n}} \Rightarrow n \approx 478{,}2$$

[5 BE]