Abitur Niedersachsen Mathematik 2026 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

Betrachtet werden die Ebene $E: x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 11$ sowie die Gerade $g$ durch die Punkte $P(5 \mid 0 \mid 3)$ und $Q(9 \mid -12 \mid 11)$.

a

Zeigen Sie, dass $P$ in $E$ liegt, und begründen Sie, dass $g$ senkrecht zu $E$ steht.

[3 BE]

b

Die Punkte $Q$ und $R$ liegen symmetrisch bezüglich $E$. Ermitteln Sie die Koordinaten von $R$.

[2 BE]

$R($

$\mid$

$\mid$

$)$

Betrachtet wird das Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(6|2|3)$ und $C(t|-3t|0)$, wobei $t$ eine positive reelle Zahl ist.

a

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ in $A$ einen rechten Winkel hat.

b

Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig. Berechnen Sie $t$.

$t =$

Aufgabe

In der Abbildung ist das gerade Prisma $ABCDEF$ mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|3)$ dargestellt.

a

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $F$ an. [1 BE]

b

Der Punkt $P(2|0|3)$ liegt auf der Kante $\overline{DE}$. Zeichnen Sie das Dreieck $APC$ in die Abbildung ein. [1 BE]

c

Betrachtet wird der Punkt $Q(k|0|3)$, wobei $k$ eine reelle Zahl mit $0 \le k \le 6$ ist. Das Dreieck $AQC$ hat den gleichen Flächeninhalt wie das Dreieck $ABC$. Berechnen Sie $k$. [3 BE]

Betrachtet werden die Punkte A, B und C mit $A(2|-3|-1)$ und $B(10|-5|3)$. Für den Punkt C gelten die folgenden Aussagen:

Die $z$-Koordinate von C ist $6$.

Die Gerade $AB$ und die Gerade $AC$ verlaufen senkrecht zueinander.

Der Punkt C liegt in der Ebene mit der Gleichung $x + 2y = 0$.

Ermitteln Sie die Koordinaten von C.

$C($ $|$ $|$ $)$

Die Punkte $A(2|0|0)$, $B(0|5|0)$, $C(-2|0|0)$, $D(0|-5|0)$ und $F(0|5|6)$ sind Eckpunkte des in der Abbildung dargestellten Prismas $ABCDEFGH$. Die Grundfläche $ABCD$ des Prismas ist eine Raute.

a

Berechnen Sie das Volumen des Prismas. [2 BE]

b

Das Prisma wird so um seine Kante $\overline{AB}$ gedreht, dass der mit $F$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der xy-Ebene liegt und eine positive x-Koordinate besitzt. Dieser Punkt in der xy-Ebene wird mit $F'$ bezeichnet.

Geben Sie einen Term für den Ortsvektor von $F'$ an, mit dem die Koordinaten von $F'$ berechnet werden können. [3 BE]