Exercici 3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2025

Exercici 3

Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg.

FÓRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI:

$Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ i $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$

Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$: per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat{p} - z_\gamma\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\, \hat{p} + z_\gamma\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$

per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\overline{x} - z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\, \overline{x} + z_\gamma\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$

per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\overline{x} - z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}},\, \overline{x} + z_\gamma\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a)

Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l'atzar una vaca frisona d'aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 i 629 kg. [1 punt]

b)

Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n'ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d'una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l'atzar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta. [1,5 punts]

Sí

No