Problema 6 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña Juny Serie 2 2022

6. En els models matemàtics que s'utilitzen per a descriure l'evolució d'una malaltia, s'anomena $R_0$ el nombre mitjà de noves infeccions que cada persona infectada provoca en la població. Quan aquest nombre és inferior a 1, cada individu infectat transmet la malaltia, de mitjana, a menys d'una persona i la malaltia tendeix a desaparèixer. En canvi, si $R_0$ és més gran que 1, la malaltia s'estén i es produeix una epidèmia.

Quan es descobreix una vacuna efectiva contra la malaltia, es pot controlar l'epidèmia vacunant només una proporció $p$ de la població. És el que es coneix com a immunitat de grup. Efectivament, un cop vacunada una proporció $p \in (0, 1)$ de la població, la nova $R_0$, que s'anomena efectiva i es denota amb $R_e$, és el producte de la $R_0$ original per la proporció d'individus que no estan vacunats, $1 - p$. I s'aconsegueix controlar l'epidèmia si la $R_e$ és inferior a 1.

a)

En el cas del xarampió, s'estima que $R_0 = 15$. Si analitzem una població amb un percentatge d'individus vacunats del 95 %, segons el model descrit, hi ha risc que es produeixi una epidèmia de xarampió en aquesta població? [0,75 punts]

b)

En el cas concret de l'anomenada grip espanyola del 1918, s'estima que $R_0 = 4$. Calculeu quin percentatge de població hauria calgut vacunar, com a mínim, per a aturar l'epidèmia d'aquesta malaltia. [0,75 punts]

%

c)

Expresseu, en general, el llindar de població mínima que cal vacunar en funció del valor $R_0$ d'una malaltia. Feu un esbós d'aquesta funció per als valors de $R_0$ entre 1 i 20. [1 punt]