Ejercicio B.3 · Física PAU País Vasco Ordinaria 2021

B.3.- Movimiento armónico simple. Ejemplos. Ecuación. Definición de las magnitudes. Ecuación de la velocidad y de la aceleración.

Solución: 1. Definición y ejemplos: El Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) es un movimiento rectilíneo, periódico y oscilatorio que experimenta una partícula sometida a una fuerza recuperadora elástica que es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto a este (Ley de Hooke: $F = -k x$). - Ejemplos: El movimiento de una masa unida a un muelle elástico horizontal o vertical (sin rozamiento), o un péndulo simple para pequeñas oscilaciones (ángulos menores de $\approx 10^\circ$). 2. Ecuación del movimiento (elongación): La posición o elongación en función del tiempo puede expresarse como: $$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$$ *(o alternativamente $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi'_0)$)* 3. Definición de las magnitudes: - Elongación ($x$): Posición de la partícula respecto al punto de equilibrio en cada instante ($t$). Se mide en metros ($\text{m}$). - Amplitud ($A$): Valor máximo de la elongación ($x_{\max} = A$). Se mide en metros ($\text{m}$). - Frecuencia angular o pulsación ($\omega$): Rapidez con que cambia la fase del movimiento. $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$. Se mide en radianes por segundo ($\text{rad/s}$). - Fase ($(\omega t + \varphi_0)$): Determina el estado de oscilación en el instante $t$. Se mide en radianes ($\text{rad}$). - Fase inicial ($\varphi_0$): Estado de oscilación en $t = 0$. Se mide en radianes ($\text{rad}$). - Periodo ($T$): Tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa ($T = \frac{2\pi}{\omega}$). Se mide en segundos ($\text{s}$). - Frecuencia ($f$ o $\nu$): Número de oscilaciones completas por unidad de tiempo ($f = \frac{1}{T}$). Se mide en hercios ($\text{Hz} = \text{s}^{-1}$). 4. Ecuación de la velocidad: Derivando la elongación respecto al tiempo: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \varphi_0)$$ En función de la elongación: $$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$$ La velocidad máxima se alcanza en la posición de equilibrio ($x = 0$): $v_{\max} = A\omega$. En los extremos ($x = \pm A$), la velocidad es nula ($v = 0$). 5. Ecuación de la aceleración: Derivando la velocidad respecto al tiempo: $$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t)$$ La aceleración es siempre directamente proporcional a la elongación y de sentido contrario (apunta hacia la posición de equilibrio). Su módulo máximo se alcanza en los extremos ($x = \pm A$): $a_{\max} = \omega^2 A$. En la posición central ($x = 0$), $a = 0$.