Problema 1 · Matemáticas II PAU Canarias Julio 2025

Bloque 1.- Análisis (La colonia de hormigas)

El modelo logístico es un modelo matemático utilizado para describir la evolución de una población a lo largo del tiempo, cuando los recursos son limitados. Es uno de los modelos matemáticos más comunes en biología y describe cómo la población se estabiliza cuando alcanza la capacidad de carga del entorno, esto es, el tamaño máximo que puede alcanzar una población antes de que los recursos se vuelvan insuficientes, lo que genera competencia y, en muchos casos, una desaceleración de la tasa de crecimiento o una crisis en la población.

Un ejemplo de modelo logístico lo encontramos en las colonias de hormigas, que están compuestas por una red de túneles, entradas, cámaras de cría y áreas de almacenamiento, donde las hormigas establecen su hábitat.

Un grupo de investigadores ha estudiado el momento en el que unas hormigas forman una nueva colonia y ha modelizado el número de hormigas ($H(t)$) después de $t$ meses con la función:

$$H(t) = \frac{6400}{1 + 159 e^{-0.5t}}$$

a)

¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente? [0,25 puntos]

b)

¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo año? Interpretar el resultado. [0,75 puntos]

c)

Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justificar matemáticamente si esta afirmación es o no correcta. [0,75 puntos]

d)

¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga? [0,75 puntos]