Ejercicio 3.1 · Matemáticas II PAU Aragón Extraordinaria 2025

Tema: Cálculo de primitivas e integral definida · Del examen Extraordinaria (2025)

Enunciado

a)

(0,5 puntos) Dada la función f(x)=2+sen⁡(x)cos⁡(x)f(x) = 2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x) con x∈Rx \in \mathbb{R}, calcula f′(x)f'(x).

b)

(1 punto) Obtén ∫cos⁡2(x)−sen⁡2(x)2+sen⁡(x)cos⁡(x) dx\displaystyle\int \frac{\cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x)}{2 + \operatorname{sen}(x)\cos(x)}\,dx.

c)

(1 punto) Calcula (si existe), en función del valor de k∈Zk \in \mathbb{Z}, el valor del límitelim⁡x→1x4+x3−x2−x(x2−1)2k.\lim_{x \to 1} \frac{x^4 + x^3 - x^2 - x}{(x^2 - 1)^{2k}}.

Enunciado: Ejercicio 3.1 · Matemáticas II PAU Aragón Extraordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calcula f'(x) para f(x) = 2 + sen(x)cos(x)

Solución: cos²(x) - sen²(x) / cos(2x)

b) Obtén ∫ (cos²(x) - sen²(x)) / (2 + sen(x)cos(x)) dx

Solución: ln|2 + sen(x)cos(x)| + C / ln(2 + sen(x)cos(x)) + C

c) Valor del límite para k ≤ 0

Solución: 0

c) Valor del límite para k ≥ 1

Solución: No existe

c) Justificación de la existencia/inexistencia de los límites laterales para k ≥ 1

Solución: El exponente 2k - 1 es impar, por lo que el límite lateral por la derecha es +∞ y por la izquierda es -∞; al no coincidir, no existe el límite.

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