Ejercicio 3.2 · Matemáticas II PAU Aragón Extraordinaria 2025

a) Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de $g(x)$.

Solución: Creciente en todo $\mathbb{R}$

b) Justificación de los máximos y mínimos absolutos de $g(x)$ en $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.

Solución: Al ser $g(x)$ estrictamente creciente en $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$, el mínimo absoluto se alcanza en el extremo inferior $x = \pi/2$ y el máximo absoluto en el extremo superior $x = \pi$.

b) Valor del mínimo absoluto de $g(x)$ en $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$:

Solución: $\frac{\pi}{2} - 1$

b) Valor del máximo absoluto de $g(x)$ en $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$:

Solución: $\pi$

c) Justificación del signo de $h(x)$ y cálculo de la primitiva de $h(x)$:

Solución: $\int (x^2 - x\operatorname{sen}(x))\,dx = \frac{x^3}{3} + x\cos(x) - \operatorname{sen}(x) + C$

c) Valor del área delimitada por $h(x)$, el eje $X$, $x = \pi/2$ y $x = \pi$:

Solución: $\frac{7\pi^3}{24} - \pi + 1$