Probabilitat i Distribucions | Anàlisi de Dades I

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ANÀLISI DE DADES EN PSICOLOGIA I Grau en Psicologia Universitat de Girona AprenAI 2026-2027 Apunts complets i formulari d'Anàlisi de Dades I (UdG): probabilitat condicional, independència, binomial, normal tipificada, khi-quadrat, t de Student i F. APREN.AI Índex 1 Fonaments de la teoria de la probabilitat 1. Estadística, probabilitat i presa de decisions 2. Experiències aleatòries, deterministes i espai mostral 3. Tipologia i relacions entre esdeveniments 4. Assignació de probabilitats: clàssica versus freqüencialista 5.

Axiomes de Kolmogorov i teoremes fonamentals 2 Probabilitat condicional i independència d'esdeveniments Probabilitat condicional i reducció de l'espai mostral Càlcul de probabilitats compostes: teorema del producte Comprovació d'independència mitjançant taules de contingència 3 Variables aleatòries: discretes i contínues Variables discretes: funció de probabilitat i de distribució Paràmetres d'una variable aleatòria discreta Variables contínues: funció de densitat i propietats 4 Distribució binomial Fonaments i condicions del model binomial Funció de probabilitat i paràmetres Càlcul complet d'un model binomial i representació gràfica Càlcul de probabilitats acumulades 5 Distribució normal i ús de taules tipificades Característiques geomètriques i analítiques de la corba normal La distribució normal tipificada i el canvi d'escala Càlcul de probabilitats mitjançant taules tipificades Aproximació de la binomial a la normal 6 Distribucions associades a la normal: khi-quadrat, t de Student i F de Snedecor Distribució khi-quadrat de Pearson ( ) Distribució t de Student-Fisher Distribució F de Snedecor Comparació de les distribucions mostrals derivades 7 Formulari 1.

Fonaments de la probabilitat i àlgebra d'esdeveniments 2. Probabilitat condicional i independència 3. Variables aleatòries discretes i contínues 4. Distribució binomial B(n, p) χ2 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 1 5. Distribució normal N(µ, σ) i aproximació binomial 6. Distribucions inferencials associades a la normal Errors típics d'examen Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions. Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important.

Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 2 1 Fonaments de la teoria de la probabilitat EN ACABAR SABRÀS Distingir operativament entre experiències deterministes i aleatòries. Classificar correctament els tipus d'esdeveniments d'un espai mostral. Diferenciar els mètodes d'assignació de probabilitat a priori i a posteriori. Calcular probabilitats de la unió aplicant adequadament el teorema de l'addició segons la compatibilitat dels esdeveniments. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si llances una moneda a l'aire i un dau de sis cares, pots saber el resultat exacte de la següent tirada o només predir la freqüència a llarg termini?

La teoria de la probabilitat constitueix el pont matemàtic indispensable que connecta la descripció de dades amb la inferència estadística, permetent prendre decisions racionals en situacions d'incertesa. ESQUEMA Estructura general de la probabilitat i distribucions 1. Estadística, probabilitat i presa de decisions L'estadística comprèn dues grans branques que actuen de manera coordinada: Estadística descriptiva: el seu propòsit és resumir, organitzar i caracteritzar el conjunt de dades d'un col·lectiu determinat.

Fonaments i axiomes Espai mostral, probabilitat clàssica i addició Condicional i independència Producte de probabilitats i causalitat Variables aleatòries Discretes i contínues Distribució binomial Modelització discreta de Bernoulli Distribució normal Tipificació z i models continus Distribucions inferencials Khi-quadrat, t de Student i F Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 3 Inferència estadística: té com a finalitat extreure conclusions i generalitzar propietats de tota una població prenent com a base les dades observades en una mostra. La teoria de la probabilitat és la base fonamental de la inferència estadística.

Els seus camps d'aplicació pràctica són molt amplis: des del consell genètic, els jocs d'atzar, el disseny i selecció de mostres o el control de qualitat industrial, fins a qualsevol àmbit científic o de la psicologia que requereixi gestionar la incertesa o avaluar riscos. 2.

Experiències aleatòries, deterministes i espai mostral En l'estudi de fenòmens empírics distingim dos tipus fonamentals d'experiments segons la capacitat de preveure'n el desenllaç: Experiència determinista: és aquella que, en repetir-se sota unes condicions idèntiques, produeix exactament el mateix resultat observable (per exemple, la distància que recorre un objecte que es desplaça a velocitat constant durant un interval temporal concret). Experiència aleatòria: és aquella que es pot reiterar indefinidament sota circumstàncies similars sense que es pugui predir amb certesa el resultat.

Malgrat la imprevisibilitat individual, el desenllaç pertany a un conjunt conegut de possibilitats, i la freqüència relativa d'aparició tendeix a estabilitzar-se al voltant d'un valor fix en augmentar el volum d'assajos (per exemple, el llançament d'un dau convencional). DEFINICIÓ L'espai mostral ( o ) és el conjunt integrat per la totalitat dels resultats possibles d'un experiment aleatori. Alguns exemples clars d'espai mostral són: En llançar un dau de sis cares: . En llançar dues monedes a l'aire (on és cara i és creu): . 3. Tipologia i relacions entre esdeveniments Un esdeveniment és qualsevol subconjunt d'elements pertanyents a l'espai mostral.

Es considera que un esdeveniment s'ha verificat o presentat si en executar l'experiència s'obté com a desenllaç algun dels seus elements constitutius (per exemple, treure un 4 suposa que s'ha presentat l'esdeveniment de nombre parell ). Tipus d'esdeveniment Descripció estructural Exemple (llançament d'un dau) Elemental Format per un únic resultat possible de l'espai mostral. Compost Conté dos o més elements de l'espai mostral. Segur Coincideix exactament amb ; ocorre en el 100 % dels assajos.

EM E E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C X E = {(C, C), (X, X), (C, X), (X, C)} A = {2, 4, 6} A = {2} A = {2, 4} E A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 4 Tipus d'esdeveniment Descripció estructural Exemple (llançament d'un dau) Impossible No conté cap element observable ( ); no s'esdevé mai. Probable Subconjunt no buit que no abasta tot ; pot ocórrer o no. Quan s'analitzen dos o més esdeveniments, cal definir les seves interaccions: Esdeveniments incompatibles: són aquells que no poden produir-se de forma simultània. La seva intersecció és buida ( ). Per exemple, i no tenen elements comuns.

Esdeveniment complementari ( ): és el subconjunt que aplega tots els elements de l'espai mostral que no pertanyen a . Per exemple, per a , el seu complementari és . COMPROVA-HO 2 Quina relació hi ha entre la compatibilitat de dos esdeveniments i la seva intersecció? 4. Assignació de probabilitats: clàssica versus freqüencialista Abans de formular l'estructura axiomàtica, s'utilitzen habitualment dues perspectives per avaluar la probabilitat d'un succés: Criteri d'assignació Fonament conceptual Procediment de càlcul Exemple típic Enfocament clàssic (a priori o de Laplace) S'assumeix que tots els casos de l'espai mostral tenen la mateixa probabilitat abans de l'experiment.

Raó directa entre casos favorables i casos possibles: Llançar un dau equilibrat i obtenir el valor 5: Enfocament freqüencialista (a posteriori) S'empra quan els resultats no són simètrics ni equiprobables; requereix experimentació empírica repetida. Càlcul de la freqüència relativa després d'un gran nombre d'assajos: En llançar una xinxeta 1.000 vegades, si 850 queda amb la punta enlaire: L'assignació a priori requereix que l'espai mostral estigui conformat per resultats simètrics. Si l'objecte presenta irregularitats físiques (com una xinxeta), és obligatori recórrer a l'experimentació a posteriori. 5.

Axiomes de Kolmogorov i teoremes fonamentals El marc formal de la probabilitat es construeix mitjançant una definició axiomàtica, recolzada sobre proposicions que s'accepten com a certes sense requerir demostració: A = {9} E A = {2, 3, 4} A B = A = {2, 4, 6} B = {1} A A A = {2, 4, 6} A = {1, 3, 5} P (A) = Casos Possibles Casos Favorables P (A) = 6 1 P (A) total assajos vegades observat P (A) = = 1000 850 0,85 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 5 A partir d'aquests principis es dedueixen propietats operatives clau: Regla del complementari: la suma d'un esdeveniment i el seu contrari val 1, per la qual cosa .

En conseqüència, si , el seu complementari és el conjunt buit ( ) i compleix . Teorema de l'addició (probabilitat total de la unió): Per a esdeveniments compatibles ( ), cal sostreure la probabilitat conjunta perquè no es compti dues vegades: Per a esdeveniments incompatibles ( ), la intersecció s'anul·la completament: ERROR FREQÜENT No s'ha de confondre que dos esdeveniments siguin incompatibles (que no poden ocórrer alhora en la mateixa observació, ) amb que siguin independents (que la informació de l'un no alteri la probabilitat de l'altre; concepte desenvolupat a «Probabilitat condicional i independència d'esdeveniments»).

Si dos esdeveniments són compatibles, oblidar restar en aplicar el teorema de l'addició porta a sobreestimar el resultat o fins i tot a obtenir probabilitats il·legítimes superiors a 1. COMPROVA-HO 3 Si un experiment té un esdeveniment amb P(A) = 0,35, quin és el valor de P(A') i per quina regla es calcula? Primer axioma: per a qualsevol esdeveniment , la probabilitat és un valor numèric fitat entre zero i u: . 1 A 0 P (A) 1 Segon axioma (llei additiva per a esdeveniments disjunts): si diversos esdeveniments elementals són incompatibles entre ells, la probabilitat de l'esdeveniment compost és igual a la suma de les probabilitats individuals: .

Per exemple, la probabilitat d'obtenir parell ( ) en un dau és: 2 P (A) = P (e ) i 2, 4 o 6 P (2 4 6) = P (2) + P (4) + P (6) = + 6 1 + 6 1 = 6 1 = 6 3 0,5 Tercer axioma: la probabilitat atribuïda a l'esdeveniment segur és unitària: . 3 P (E) = 1 P (A) + P (A ) = 1 P (A ) = 1 P (A) P (E) = 1 P ( ) = 0 A B = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A B = P (A B) = P (A) + P (B) A B = P (A B) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 6 IDEES CLAU La inferència estadística recolza totes les seves conclusions poblacionals sobre la teoria de la probabilitat. Una experiència aleatòria produeix múltiples resultats possibles i la seva freqüència s'estabilitza en augmentar el nombre d'assajos.

L'enfocament clàssic assigna probabilitats a priori basant-se en la simetria dels casos, mentre que el freqüencialista ho fa a posteriori observant la freqüència relativa. Tota mesura de probabilitat compleix estrictament els axiomes de Kolmogorov: no negativitat i fita màxima unitària ( ), additivitat disjunta i certesa de l'esdeveniment segur ( ). El teorema de l'addició estableix que , expressió que es redueix a la simple suma només si els esdeveniments són incompatibles. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. En què es diferencia essencialment una experiència determinista d'una d'aleatòria? 5. Quan s'ha d'utilitzar obligatòriament la probabilitat freqüencialista en lloc de la clàssica de Laplace?

6. Quina modificació pateix la fórmula de la unió quan dos esdeveniments són incompatibles? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 7. Quin és l'objectiu principal de la inferència estadística? 8. Com es defineix un esdeveniment elemental? 9. Si es llança una xinxeta 1.000 cops i surt 850 cops de punta, quina probabilitat s'empra?

0 P (A) 1 P (E) = 1 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Assignar freqüències absolutes a priori a) Conèixer trets poblacionals mitjançant una mostra b) Descriure les característiques d'una mostra c) Eliminar completament la incertesa dels fenòmens d) Qualsevol conjunt amb intersecció no nul·la a) El conjunt de tots els resultats b) Un subconjunt amb un sol resultat possible c) Un esdeveniment que mai no s'esdevé d) Probabilitat freqüencialista a posteriori a) Teorema de la probabilitat condicionada b) Axioma de l'esdeveniment segur c) Probabilitat clàssica a priori d) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 7 10. Si A i B són compatibles, quina és la probabilitat de la unió?

2 Probabilitat condicional i independència d'esdeveniments EN ACABAR SABRÀS Calcular la probabilitat condicional d'un esdeveniment mitjançant la reducció de l'espai mostral Aplicar el teorema del producte tant per a successos dependents com per a independents Comprovar la independència estadística entre dues variables mitjançant una taula de contingència 2x2 Distingir amb precisió matemàtica entre esdeveniments incompatibles i esdeveniments independents PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 11 Si saps que en llançar un dau de sis cares ha sortit un nombre més gran que 3, canvia la probabilitat que sigui parell?

Probabilitat condicional i reducció de l'espai mostral La incorporació d'informació prèvia modifica sovint la incertesa sobre un resultat. Quan sabem del cert que s'ha produït un esdeveniment , l'espai mostral original es redueix exclusivament als resultats compatibles amb aquest succés. La probabilitat que ara passi un altre esdeveniment s'anomena probabilitat condicional de donat . DEFINICIÓ Per a dos esdeveniments compatibles on , la probabilitat condicional de donat que ha tingut lloc s'expressa mitjançant el quocient: Considerem l'exemple d'un dau de sis cares: tres cares negres que contenen els valors 1, 2 i 3, i tres cares blanques amb els números 4, 5 i 6.

Si es vol calcular la probabilitat d'obtenir un resultat parell, la situació canvia segons la informació disponible per a cada observador: Color de la cara Resultat parell Resultat imparell Total Negra (1, 2, 3) 1 (el 2) 2 (l'1 i el 3) 3 P(A) + P(B) a) P(A) + P(B) - P(A B) b) 1 - P(A B) c) P(A) · P(B) d) A B B A P (A) > 0 B A P (B/A) = P (A) P (A B) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 8 Color de la cara Resultat parell Resultat imparell Total Blanca (4, 5, 6) 2 (el 4 i el 6) 1 (el 5) 3 Total 3 3 6 A partir d'aquestes dades podem comparar tres escenaris segons el grau d'informació: Sense conèixer el color (aposta estàndard o a priori): hi ha 3 nombres parells entre 6 resultats possibles, de manera que la probabilitat és .

Sabent que la cara és negra: l'espai es restringeix a {1, 2, 3}. Només el 2 és parell, per la qual cosa . Sabent que la cara és blanca: l'espai mostral queda limitat a {4, 5, 6}. Com que el 4 i el 6 són parells, tenim . Aquesta diferència de probabilitats demostra que l'observador que coneix el color disposa d'un avantatge informatiu, ja que la distribució de probabilitats sobre els resultats individuals s'ha actualitzat. Gràfica comparativa de probabilitats segons el grau d'informació de cada jugador. COMPROVA-HO 12 Per què la probabilitat de treure un nombre parell passa de 0,5 a 0,67 quan sabem que la cara és blanca?

P (parell) = 3/6 = 0,5 P (parell/negra) = 1/3 0,33 P (parell/blanca) = 2/3 0,67 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 9 Càlcul de probabilitats compostes: teorema del producte La probabilitat que es produeixin conjuntament dos esdeveniments rep el nom de probabilitat composta o probabilitat de la intersecció. Aïllant el numerador de la fórmula de la probabilitat condicional s'obté la regla general coneguda com a teorema del producte.

DEFINICIÓ Si dos esdeveniments i són dependents, la probabilitat de la seva ocurrència simultània és: Aplicant aquesta expressió a l'exemple del dau per determinar la probabilitat d'obtenir alhora cara blanca ( ) i resultat parell ( ): Probabilitat de cara blanca: . Probabilitat de parell sabent que és blanca: . Probabilitat conjunta: . Si la certesa d'un succés no altera en absolut la probabilitat de l'altre, diem que els esdeveniments són esdeveniments independents. En aquest cas es compleix que , per la qual cosa la regla del producte se simplifica notablement: ERROR FREQÜENT Confondre independència amb incompatibilitat és una errada habitual.

Dos esdeveniments són incompatibles (mutuament excloents) quan no poden passar a la vegada, és a dir, . En canvi, són independents si l'ocurrència de l'un no modifica la de l'altre, la qual cosa exigeix . Si dos successos amb probabilitat no nul·la són incompatibles, mai podran ser independents, perquè si passa un, l'altre és impossible. ESQUEMA Relacions entre dos esdeveniments COMPROVA-HO 13 Si dos esdeveniments tenen probabilitats P(A) = 0,4 i P(B) = 0,5 i són incompatibles, poden ser independents?

A B P (A B) = P (A) P (B/A) A B P (A) = 3/6 = 0,5 P (B/A) = 2/3 P (A B) = (3/6) (2/3) = 2/6 = 1/3 0,33 P (B/A) = P (B) P (A B) = P (A) P (B) P (A B) = 0 P (A B) = P (A) P (B) Incompatibles Intersecció buida, P(A B) = 0 Compatibles Poden ocórrer alhora, P(A B) > 0 Dependents P(A B) = P(A) · P(B/A) Independents P(A B) = P(A) · P(B) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 10 Comprovació d'independència mitjançant taules de contingència Per comprovar de forma empírica si dos caràcters o esdeveniments són independents s'utilitzen habitualment taules de doble entrada o de contingència. Analitzem el problema següent pas a pas.

EXEMPLE En un col·lectiu escolar format per 250 alumnes, se sap que 60 han aprovat matemàtiques i 160 han aprovat història. A més, la quarta part dels estudiants que han aprovat història han aprovat també matemàtiques. Volem determinar si l'esdeveniment «aprovar matemàtiques» ( ) i l'esdeveniment «aprovar història» ( ) són estadísticament independents. COMPROVA-HO 14 Quina condició hauria de complir el producte P(H) · P(M) per afirmar que aprovar història i matemàtiques són independents? M H Identificar les dades donades: El total d'alumnes és 250. Els aprovats d'història són 160 i els de matemàtiques són 60.

La intersecció correspon a la quarta part dels aprovats d'història: alumnes aproven ambdues matèries. 1 (1/4) 160 = 40 Completar la taula per subtracció: Els que aproven història però suspenen matemàtiques són . Els que aproven matemàtiques i suspenen història són . Finalment, els que suspenen les dues matèries són (o bé ).

2 160 40 = 120 60 40 = 20 90 20 = 70 190 120 = 70 Organitzar la matriu de freqüències: Història \ Matemàtiques Aprova (M) Suspèn Total Aprova (H) 40 120 160 Suspèn 20 70 90 Total 60 190 250 3 Calcular les probabilitats marginals i la conjunta: 4 P (H) = = 250 160 0,64 P (M) = = 250 60 0,24 P (H M) = = 250 40 0,16 Avaluar el criteri d'independència: Multipliquem les dues probabilitats individuals: Com que 0,16 eq 0,1536, es conclou formalment que aprovar matemàtiques i aprovar història no són esdeveniments independents.

5 P (H) P (M) = 0,64 0,24 = 0,1536 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 11 IDEES CLAU La probabilitat condicional avalua un succés sota un espai mostral reduït per l'ocurrència coneguda d'un altre. El teorema del producte general estableix que per a successos dependents. Dos esdeveniments són independents si i només si es verifica la igualtat . Incompatibilitat ( ) expressa exclusió mútua i és conceptualment oposada a la independència estadística. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 15. Com es calcula la probabilitat condicional d'un esdeveniment B respecte a un esdeveniment A? 16. En què es diferencia la regla de multiplicació per a esdeveniments dependents respecte als independents?

Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 17. Quina expressió defineix correctament la probabilitat condicional P(B/A)? 18. Si dos esdeveniments A i B són independents, quina igualtat es verifica necessàriament? 19. En el dau de 6 cares (3 negres {1,2,3} i 3 blanques {4,5,6}), quin és el valor de P(parell/blanca)? 20.

Dos successos no buits són incompatibles quan: P (A B) = P (A) P (B/A) P (A B) = P (A) P (B) P (A B) = 0 P(A) · P(B) a) P(A B) - P(A) b) P(A B) / P(B) c) P(A B) / P(A) d) P(A B) = 0 a) P(B/A) = 0 b) P(A B) = 1 c) P(A B) = P(A) · P(B) d) 1/2 a) 2/3 b) 1/3 c) 1/6 d) P(A B) = P(A) · P(B) a) P(B/A) = P(B) b) P(A B) = 0 c) P(A B) = P(A B) d) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 12 3 Variables aleatòries: discretes i contínues EN ACABAR SABRÀS Distingir entre variables aleatòries discretes i contínues a partir de la natura del seu recorregut. Construir taules de funció de probabilitat i funció de distribució acumulada per a variables discretes.

Calcular el valor esperat i la variància d'una variable aleatòria discreta mitjançant sumatoris ponderats. Interpretar la funció de densitat d'una variable contínua i el concepte de probabilitat puntual nul·la. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 21 Quina és la probabilitat exacta que un llum duri exactament 1.250 hores, 0 minuts i 0 segons? En l'estudi del càlcul de probabilitats, cal fer el pas de descriure resultats qualitatius a operar amb quantitats numèriques mitjançant el concepte de variable aleatòria (v.a.).

ESQUEMA Estructura de les variables aleatòries DEFINICIÓ Una variable aleatòria és una assignació numèrica als possibles resultats d'una experiència aleatòria (vegeu «Fonaments de la teoria de la probabilitat»). Permet quantificar la incertesa associant un valor matemàtic a cada element de l'espai mostral. Segons la natura dels valors que pot prendre el conjunt de resultats, distingim dos grans tipus de variables: Variables aleatòries discretes: presenten un conjunt de resultats numerables.

Entre dos valors consecutius no existeix cap altre valor assumible per la variable (com ara el nombre de pàgines Variables discretes Valors numerables aïllats Funció de probabilitat P(X = xi) puntual Paràmetres discrets E(X) i variància amb sumatoris Variables contínues Infinits valors en intervals Funció de densitat Àrea sota la corba Paràmetres continus E(X) i variància amb integrals Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 13 d'un llibre o la quantitat de preguntes en una classe d'una hora). Variables aleatòries contínues: els seus resultats pertanyen a un interval continu de la recta real i són no numerables.

Entre dos valors concrets existeixen infinits valors assumibles (per exemple, el temps que triga una bombeta a fondre's o la quantitat d'aigua consumida en un mes). Tipus de variable Natura dels valors Exemples característics Discreta Valors aïllats i numerables Pàgines d'un text, preguntes a classe, cares en llançar monedes Contínua Infinits valors en un interval continu Vida útil d'una bombeta, volum d'aigua gastat en un mes COMPROVA-HO 22 Quina diferència estructural separa una variable aleatòria discreta d'una contínua pel que fa als valors intermedis?

Variables discretes: funció de probabilitat i de distribució En el marc de les variables discretes definim dues funcions fonamentals per descriure com es reparteix la massa de probabilitat: Funció de probabilitat : assigna a cada valor concret de la variable la seva probabilitat exacta d'ocurrència, . Aquest concepte actua de manera equivalent a la freqüència relativa de l'estadística descriptiva. Funció de distribució acumulada : acumula la probabilitat fins a un cert valor, F(x_i) = P(X x_i). Reflecteix la probabilitat d'obtenir aquest valor o qualsevol altre d'inferior, equivalent a la freqüència relativa acumulada.

EXEMPLE Considerem l'experiència aleatòria de llançar tres monedes a l'aire i definim la variable com el nombre de cares obtingudes. L'espai mostral complet consta de 8 successos elementals equiprobables: Assignem les probabilitats individuals mitjançant la regla de casos favorables entre casos possibles: 0 cares ( ): 1 cas de 8 1 cara ( ): 3 casos de 8 2 cares ( ): 3 casos de 8 3 cares ( ): 1 cas de 8 f(x) f(x ) = i P (X = x ) i F (x) X EM = {XXX, XXC, XCX, CXX, XCC, CXC, CCX, CCC} XXX f(0) = 1/8 XXC, XCX, CXX f(1) = 3/8 XCC, CXC, CCX f(2) = 3/8 CCC f(3) = 1/8 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 14 Taula de funció de probabilitat i acumulada del llançament de tres monedes.

Paràmetres d'una variable aleatòria discreta Per sintetitzar el comportament numèric d'una variable discreta emprem dos paràmetres clau, homòlegs a la mitjana i a la variància mostral de l'estadística descriptiva: Valor esperat o mitjana: representa el centre de gravetat de la distribució i es calcula ponderant cada valor per la seva probabilitat: Variància o : mesura la dispersió dels valors respecte a la mitjana i s'obté amb la fórmula operativa: Per facilitar el procediment de càlcul de la mitjana i de la variància, solem organitzar les dades en una plantilla amb columnes auxiliars per a i : E(X) E(X) = x i f(x ) i V (X) σ2 V (X) = x i 2 f(x ) i [E(X)]2 x i f(x ) i x i 2 f(x ) i Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 15 Plantilla per calcular valor esperat i variància amb sumatoris.

Si completem els càlculs per a l'exemple del llançament de les tres monedes, obtenim la taula resolta: Càlcul complet del valor esperat i de la variància en tres monedes. A partir dels sumatoris finals de la taula: Calculem el valor esperat: cares. 1 E(X) = = 8 12 1,5 Substituïm en l'expressió de la variància: . 2 V (X) = 3 (1,5) = 2 3 2,25 = 0,75 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 16 EXEMPLE Previsió de vendes de paraigües: Suposem que un negoci ven 10 paraigües si plou, però només 1 paraigua si fa sol. La probabilitat de pluja és de 0,25 i la de no pluja és de . Quants paraigües espera vendre?

Quantitat ( ) Probabilitat Producte 1 0,75 0,75 10 0,25 2,50 Suma ( ) 1,00 3,25 El valor esperat és . Com a mitjana s'espera vendre 3,25 paraigües. COMPROVA-HO 23 Què passaria amb el valor esperat de venda de paraigües si la probabilitat de pluja pugés a 0,50? Variables contínues: funció de densitat i propietats Quan la variable és contínua, no podem assignar probabilitats aïllades a valors individuals aïllats. En el seu lloc utilitzem la funció de densitat de probabilitat . ERROR FREQÜENT En una variable aleatòria contínua, la probabilitat d'un punt aïllat és sempre P(X = x_i) = 0.

Un error habitual d'examen és confondre el valor de la funció de densitat en un punt, , amb la probabilitat d'aquest punt. La probabilitat només es calcula com l'àrea sota la corba en un interval finit. La funció de densitat compleix dues condicions fonamentals: És estrictament no negativa per a qualsevol valor: . L'àrea total compresa sota tota la corba de densitat equival a la unitat certesa: , de manera anàloga a l'àrea total en un histograma de freqüències.

La funció de distribució d'una variable contínua representa l'acumulada de la funció de densitat: A nivell conceptual, el valor esperat i la variància d'una variable contínua adapten els sumatoris de les discretes transformant-los en integrals definides sobre tot el suport de la variable: Valor esperat: 1 0,25 = 0,75 x i f(x ) i x i f(x ) i Σ E(X) = x i f(x ) = i 3,25 f(x) f(x ) i f(x) 0 f(x) dx = + 1 F (x) F (x ) = i P (X x ) i E(X) = x + f(x) dx Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 17 Variància: IDEES CLAU Una variable aleatòria assigna valors numèrics als esdeveniments d'un espai mostral.

Les variables discretes prenen valors aïllats i les contínues prenen infinits valors en intervals. Per a variables discretes, la funció de probabilitat i l'acumulada descriuen la distribució. El valor esperat discret es calcula com i la variància com . En variables contínues, la probabilitat puntual és sempre nul·la, , i la probabilitat s'avalua com l'àrea sota la funció de densitat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 24. Per què en una variable aleatòria contínua la probabilitat que prengui un valor exacte és zero? 25. Com es defineix formalment la funció de distribució acumulada tant per al cas discret com per al continu? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 26.

Quin dels següents exemples correspon a una variable aleatòria contínua? 27. Com es calcula el valor esperat E(X) d'una variable aleatòria discreta? 28. Quin valor assoleix sempre la funció de distribució acumulada en el valor màxim del suport?

4 V (X) = x + 2 f(x) dx [E(X)]2 f(x ) = i P (X = x ) i F (x ) = i P (X x ) i E(X) = x i f(x ) i V (X) = x i 2 f(x ) i [E(X)]2 P (X = x ) = i 0 x i F (x ) i Nombre de respostes correctes a) Nombre de pàgines d'un llibre b) Temps fins que es fon una bombeta c) Quantitat de monedes llançades d) Fent el quadrat de la suma xi a) Sumant només els valors xi b) Multiplicant la suma xi per la variància c) Sumant els productes xi · f(xi) d) Infinit a) 0,5 b) 1 c) 0 d) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 18 Distribució binomial EN ACABAR SABRÀS Identificar les condicions d'un procés per verificar si segueix una distribució binomial.

Calcular probabilitats puntuals mitjançant la fórmula combinatòria del model binomial. Determinar l'esperança i la variància d'una variable B(n, p). Calcular probabilitats acumulades aplicant el teorema de l'addició per a esdeveniments incompatibles. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 29 Si llances una moneda 6 vegades, quina és la quantitat de cares que obtindràs més probablement? Fonaments i condicions del model binomial Els models de distribució constitueixen patrons teòrics que formalitzen el comportament de fenòmens reals freqüents. Dins les variables aleatòries discretes (vegeu «Variables aleatòries: discretes i contínues»), el model de referència per excel·lència és la distribució binomial.

DEFINICIÓ La distribució binomial modelitza el nombre d'èxits obtinguts en executar una quantitat fixa d'assajos independents amb probabilitat constant. Perquè una variable s'ajusti estrictament a aquest model, han de concórrer tres condicions fonamentals: Dicotomia: cada assaig només admet dos resultats possibles mútuament excloents, designats habitualment com a èxit o fracàs (per exemple, bola blanca o negra, cara o creu). Independència dels assajos: el resultat obtingut en una prova no influeix en les posteriors (vegeu «Probabilitat condicional i independència d'esdeveniments»).

En un context d'extracció d'elements d'una urna o caixa, aquesta condició exigeix que el mostreig sigui amb reposició perquè la composició no s'alteri. Probabilitat constant: la probabilitat d'èxit, expressada com , roman idèntica al llarg de tota la sèrie d'extraccions o llançaments. Per tant, la probabilitat del resultat complementari és . La variable aleatòria discreta compta les ocurrències de l'esdeveniment d'interès al llarg de assajos. Així, el seu espai mostral conté tots els enters compresos entre cap èxit i el màxim possible: (vegeu «Fonaments de la teoria de la probabilitat»). p q = 1 p X n E = {0, 1, 2, …

, n} Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 19 ESQUEMA Condicions del model binomial COMPROVA-HO 30 Quina condició sobre el mostreig és necessària per poder modelitzar l'extracció de boles d'una caixa mitjançant una distribució binomial? Funció de probabilitat i paràmetres Una distribució binomial queda completament determinada per la parella de paràmetres (mida de la mostra o nombre d'assajos) i (probabilitat d'èxit en cada assaig individual). La seva notació formal és B(n, p).

Per calcular la probabilitat exacta d'obtenir una quantitat determinada d'èxits, s'aplica l'expressió analítica basada en combinatòria: Aquesta fórmula articula dos components essencials: El coeficient combinatori , que quantifica totes les ordenacions possibles en què poden distribuir-se els èxits entre els intents disponibles. El producte , que determina la probabilitat d'una seqüència específica concreta gràcies a la independència dels assajos. A partir d'aquests paràmetres, les propietats centrals de la variable prenen expressions directes: el valor esperat és E(X) = n p i la variància és , on .

PER RECORDAR-HO Per calcular els factorials recorda que i, per definició aritmètica, (mai zero). ERROR FREQÜENT Oblidar el terme combinatori i calcular només . Això només reflecteix una única seqüència particular i infravalora notablement la probabilitat real de l'esdeveniment. Dicotomia Només dos resultats possibles Independència Els resultats no influeixen els següents Probabilitat constant Paràmetre p invariable a cada prova n p k P (X = k) = p (1 k!(n k)! n! k p)n k k!(n k)! n! k n p (1 k p)n k V (X) = n p q q = 1 p n! = n (n 1) 1 0! = 1 k!(n k)! n!

p q k n k Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 20 COMPROVA-HO 31 Quant valen l'esperança i la variància d'un model binomial amb n = 10 i p = 0,2? Càlcul complet d'un model binomial i representació gràfica Considerem l'experiment de llançar vegades una moneda equilibrada, on l'èxit és obtenir cara ( i ). Es tracta d'una distribució amb espai mostral .

Per construir la distribució de probabilitat completa, avaluem cada valor de mitjançant la fórmula analítica: Nombre de cares ( ) Desenvolupament combinatori i potències Càlcul operatiu Probabilitat puntual 0 0,015625 1 0,093750 2 0,234375 3 0,312500 4 0,234375 5 0,093750 6 0,015625 La suma total de les probabilitats de tots els resultats de l'espai mostral equival exactament a 1, d'acord amb els axiomes de probabilitat. Com que , la distribució presenta una perfecta simetria al voltant del valor central. Els paràmetres descriptius d'aquest cas són: Valor esperat: cares de mitjana. Variància: .

En tractar-se d'una variable aleatòria discreta, la representació gràfica es duu a terme mitjançant un diagrama de barres o columnes aïllades. No s'han d'unir els vèrtexs amb un traç continu, ja que els valors intermedis no tenen sentit real dins l'espai mostral discret. n = 6 p = 0,5 q = 1 0,5 = 0,5 B(6; 0,5) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} k k P (k) 0,5 0,5 0!6! 6! 0 6 1 1 0,015625 0,5 0,5 1!5! 6! 1 5 6 0,5 0,03125 0,5 0,5 2!4! 6! 2 4 15 0,25 0,0625 0,5 0,5 3!3! 6! 3 3 20 0,125 0,125 0,5 0,5 4!2! 6! 4 2 15 0,0625 0,25 0,5 0,5 5!1! 6! 5 1 6 0,03125 0,5 0,5 0,5 6!0! 6!

6 0 1 0,015625 1 p = 0,5 E(X) = n p = 6 0,5 = 3 V (X) = n p q = 6 0,5 0,5 = 1,5 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 21 Gràfica de barres de la distribució binomial simètrica B(6, 0.5). Càlcul de probabilitats acumulades Sovint cal avaluar la probabilitat que el nombre d'esdeveniments assoleixi un llindar mínim o se situï en un rang concret.

Quan els resultats individuals són incompatibles entre si ( ), el teorema de l'addició estableix que la probabilitat de la unió és la suma de les probabilitats individuals (vegeu «Fonaments de la teoria de la probabilitat»): EXEMPLE Si es demana la probabilitat d'obtenir 3 o més cares en el llançament de 6 monedes, es defineix l'esdeveniment compost com la unió dels successos incompatibles : Substituint els valors calculats anteriorment: La probabilitat d'obtenir almenys tres cares en sis llançaments és de 0,65625. COMPROVA-HO 32 Per què podem sumar directament P(3), P(4), P(5) i P(6) per trobar P(k 3)?

A B = P (A B) = P (A) + P (B) P (k 3) k = 3, 4, 5, 6 P (k 3) = P (3) + P (4) + P (5) + P (6) P (k 3) = 0,3125 + 0,234375 + 0,09375 + 0,015625 = 0,65625 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 22 IDEES CLAU Un model binomial exigeix assajos independents, condició dicotòmica i probabilitat d'èxit estrictament invariable. L'expressió puntual és , on el factorial contempla les combinacions d'ordenació. El valor esperat d'una és i la seva variància és . Quan , la distribució és perfectament simètrica al voltant del valor mitjà. El càlcul d'intervals com s'obté sumant les probabilitats puntuals corresponents per incompatibilitat d'esdeveniments. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 33.

Com influeix el tipus d'extracció (amb o sense reposició) en l'aplicabilitat del model binomial? 34. En el llançament de 6 monedes, per què les probabilitats P(2) i P(4) prenen exactament el mateix valor? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 35. Quina condició és indispensable perquè un experiment s'ajusti al model binomial? 36. Quin és el valor esperat en una distribució B(6; 0,5)? 37. Quant val la variància d'una variable aleatòria B(6; 0,5)? 38. Per què P(k 3) es pot calcular sumant directament P(3) + P(4) + P(5) + P(6)? p P (k) = p (1 k!(n k)! n!

k p)n k B(n, p) E(X) = n p V (X) = n p q p = 0,5 P (k c) Mostreig sense reemplaçament en urnes a) Probabilitat d'èxit constant a cada intent b) Dependència estricta entre proves consecutives c) Variable amb infinits valors d) 1,5 a) 0,5 b) 3 c) 6 d) 2,25 a) 1,5 b) 3 c) 0,75 d) Perquè sumen exactament 1 a) Perquè els esdeveniments són incompatibles b) Perquè són esdeveniments independents c) Perquè la distribució és contínua d) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 23 5 Distribució normal i ús de taules tipificades EN ACABAR SABRÀS Identificar les propietats geomètriques i analítiques de la distribució normal Transformar una variable N(µ, σ) a una N(0, 1) mitjançant la fórmula d'estandardització Calcular probabilitats de cues i intervals emprant taules tipificades Determinar els paràmetres de la normal per aproximar una distribució binomial PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 39 Com podem calcular àrees de probabilitat per a infinites corbes normals diferents sense haver de disposar d'infinites taules?

La distribució normal constitueix el model probabilístic continu més rellevant en l'anàlisi de dades estadístiques. Permet descriure fenòmens aleatoris continus mitjançant dos paràmetres fonamentals: el centre de la distribució i la seva dispersió. ESQUEMA Estructura de la unitat de probabilitat i distribucions Característiques geomètriques i analítiques de la corba normal La representació gràfica d'una variable aleatòria contínua que segueix aquest model rep el nom de campana de Gauss. Aquesta corba es caracteritza per una perfecta simetria respecte de l'eix vertical situat a la mitjana .

El punt més alt de la funció coincideix exactament amb aquest valor mitjà, on la corba assoleix el seu màxim absolut. Models de distribució Estudi analític de variables aleatòries Variables discretes Assajos independents i recomptes Distribució binomial Model B(n, p) i aproximacions Variables contínues Àrees sota funcions de densitat Distribució normal N(µ, σ) Campana de Gauss i propietats Distribucions associades khi-quadrat, t de Student i F Estandardització N(0, 1) Transformació z i taules X = μ Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 24 A més, la gràfica presenta dos punts d'inflexió situats a i a , on la curvatura canvia de còncava a convexa.

Els seus extrems s'estenen indefinidament sense tallar mai l'eix horitzontal: la corba és asímptota tant cap a per l'esquerra com cap a per la dreta. DEFINICIÓ Una variable aleatòria contínua segueix una distribució normal si la seva funció de densitat ve donada per l'expressió analítica: on representa la mitjana poblacional i és la desviació típica, amb la restricció obligatòria que (no pot ser negativa). Tal com s'estudia en les propietats generals de la funció de densitat (vegeu «Variables aleatòries: discretes i contínues»), l'àrea total compresa sota la corba normal equival a la probabilitat total unitària, és a dir, és exactament igual a 1.

La funció de distribució acumulada reflecteix l'àrea que queda a l'esquerra d'un llindar determinat: . COMPROVA-HO 40 Quina és la probabilitat exacta associada a un únic valor puntual P(X = 4) en una distribució normal N(4, 2)? La distribució normal tipificada i el canvi d'escala Com que existeixen infinites combinacions de paràmetres i , cadascuna genera una campana diferent. Variar produeix un canvi d'origen que desplaça la corba horitzontalment al llarg de l'eix d'abscisses: Gràfica de canvis d'origen segons la variació de la mitjana poblacional.

X = μ σ X = μ + σ + N(μ, σ) f(x) = e 2πσ2 1 2σ2 (x μ)2 μ σ σ > 0 F (x ) = i P (X x ) i μ σ μ Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 25 D'altra banda, modificar suposa un canvi d'escala que altera l'amplada i l'alçada de la campana mantenint l'àrea total igual a 1: Gràfica de canvis d'escala en funció de la desviació típica. Per evitar haver de resoldre integrals complexes per a cada parell de paràmetres, s'aplica una transformació lineal anomenada tipificació o estandardització. Aquest procés redueix qualsevol distribució a la distribució normal tipificada , la qual té mitjana 0 i desviació típica 1.

DEFINICIÓ La fórmula d'estandardització permet calcular el valor corresponent a una puntuació directa mitjançant: Un cop transformat el valor en una puntuació , es consulta la taula estadística tabulada per determinar l'àrea sota la corba associada. σ N(μ, σ) N(0, 1) z x i z = i σ x μ i z i Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 26 Esquema d'una cua superior sota la campana de Gauss. COMPROVA-HO 41 Quin efecte geomètric té restar la mitjana i dividir per la desviació típica sobre la corba original? Càlcul de probabilitats mitjançant taules tipificades Les taules estadístiques de la distribució normal proporcionen l'àrea situada a la cua exterior per a valors de .

Per la propietat de simetria respecte a l'origen, l'àrea a la dreta d'un valor positiu és exactament igual a l'àrea a l'esquerra del seu oposat negatiu : A continuació es detalla la resolució per a una variable en cadascun dels tres supòsits geomètrics possibles. Cas 1: Cua dreta o valor superior, P(X > a) Considerem el càlcul de en aquesta distribució: Cas 2: Cua esquerra o valor inferior, P(X < b) Considerem ara el càlcul de : z +z z P (Z > z) = P (Z < z) X N(4, 2) P (X > 5) Dibuixar la corba centrant-la en i sombrejar l'àrea a la dreta de 5. 1 μ = 4 Calcular el valor tipificat: . 2 z = = 2 5 4 0,5 Localitzar a la taula. L'àrea tabulada de la cua dreta és 0,3085. Per tant, .

3 z = 0,5 P (X > 5) = 0,3085 P (X < 1) Situar -1 a l'esquerra de la mitjana 4 i marcar la regió inferior (cap a ). 1 Tipificar el valor límit: . 2 z = = 2 1 4 2,5 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 27 Cas 3: Interval comprès entre dos valors, P(a < X < b) Volem trobar la probabilitat compresa entre 1 i 5, és a dir, : Tipus de regió Puntuació Z Lectura de taula Càlcul d'àrea Cua dreta: Directa per a valor positiu 0,3085 Cua esquerra: Per simetria amb +2,5 0,0062 Interval: , Suma de cues excloses ERROR FREQÜENT Quan s'utilitza una taula de cues exteriors, oblidar restar les àrees extremes a 1 és un error habitual.

Si es demana l'àrea compresa entre dos valors centrals, sumar directament les probabilitats obtingudes a la taula és incorrecte: aquesta suma correspon a les cues descartades, de manera que cal restar-la obligatòriament a 1. COMPROVA-HO 42 Si una taula de cua dreta dóna P(Z > 1,5) = 0,0668, com s'obté la probabilitat acumulada P(Z 1,5)? Aproximació de la binomial a la normal Quan el nombre d'intents en una distribució binomial és elevat, calcular probabilitats mitjançant el coeficient combinatori pot esdevenir summament feixuc (vegeu «Distribució binomial»). En aquestes circumstàncies, la llei normal actua com una aproximació contínua excel·lent per a models discrets.

Buscar a la taula el valor absolut 2,50. Per simetria, l'àrea a l'esquerra de -2,5 coincideix amb l'àrea a la dreta de +2,5, resultant 0,0062. Així, . 3 P (X < 1) = 0,0062 P (1 < X < 5) Tipificar cadascun dels dos extrems de l'interval: 1 z = 1 = 2 1 4 1,5 z = 2 = 2 5 4 0,5 Consultar a la taula l'àrea de cadascuna de les dues cues exteriors: Per a , cerquem 1,50, que dóna una cua esquerra de 0,0668. Per a , la cua dreta dóna una àrea de 0,3085.

2 z = 1 1,5 z = 2 0,5 Aplicar la propietat de l'àrea total restant les cues exteriors a la unitat: 3 P (1 < X < 5) = 1 (0,0668 + 0,3085) = 1 0,3753 = 0,6247 X > 5 z = +0,5 X < 1 z = 2,5 1 < X < 5 z = 1 1,5 z = 2 +0,5 1 (0,0668 + 0,3085) = 0,6247 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 28 DEFINICIÓ L'aproximació d'una distribució binomial mitjançant una distribució normal és metodològicament vàlida quan es verifiquen simultàniament les dues condicions de convergència: on representa la probabilitat de fracàs de l'assaig.

Si aquests criteris es compleixen, la distribució discreta s'ajusta als paràmetres continus següents: EXEMPLE El 40 % de la població adulta d'una ciutat es mostra favorable a l'horari comercial flexible. Si s'escull una mostra a l'atzar de 200 individus, calculem la probabilitat que 70 o més persones estiguin a favor: IDEES CLAU La distribució normal és una corba simètrica i asimptòtica respecte de l'eix horitzontal, amb un màxim a i punts d'inflexió a . L'àrea compresa sota tota la funció de densitat de la corba normal és exactament igual a 1. La transformació mitjançant permet traslladar qualsevol distribució normal a la taula estàndard .

La simetria de la distribució estableix la identitat d'àrees . Per aproximar una binomial a una normal és indispensable que es compleixi i . B(n, p) n p 5 i n q 5 q = 1 p B(n, p) N n p, ( n p q) Identificar els paràmetres binomials: , i . 1 n = 200 p = 0,4 q = 0,6 Comprovar els criteris: i . L'aproximació és plenament vàlida. 2 n p = 200 0,4 = 80 5 n q = 200 0,6 = 120 5 Calcular la mitjana i la desviació típica associades: 3 μ = n p = 80 σ = = n p q = 200 0,4 0,6 48 6,93 La distribució s'aproxima mitjançant una , permetent resoldre la condició mitjançant la tipificació habitual.

4 N(80; 6,93) P (X 70) μ μ ± σ z = (x i μ)/σ N(0, 1) P (Z > z) = P (Z < z) B(n, p) N(np, ) npq n p 5 n q 5 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 29 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 43. On se situen exactament els punts d'inflexió d'una distribució normal N(4, 2)? 44. Com es calcula l'àrea d'un interval central P(a < X < b) utilitzant una taula de cues? 45. Quines condicions numèriques exigeix l'aproximació d'una binomial a una normal? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 46. Quin paràmetre determina la posició del màxim absolut de la corba normal? 47. Si una variable X segueix una N(4, 2), quin és el valor tipificat z per a x = 5? 48.

Per quina raó P(Z > z) és idèntica a P(Z < -z)? 49. Per a B(200; 0,4), quina desviació típica té la distribució normal aproximada? 6 Distribucions associades a la normal: khi-quadrat, t de Student i F de Snedecor EN ACABAR SABRÀS Identificar la definició analítica i la gènesi de les distribucions khi-quadrat, t de Student i F de Snedecor. Calcular l'esperança i la variància de cadascuna en funció dels seus graus de llibertat. Comparar el camp de variabilitat i la simetria d'aquestes tres distribucions contínues. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 50 Si elevem al quadrat una variable normal amb mitjana zero, pot continuar tenint una distribució normal?

L'amplitud mostral a) La desviació típica b) La mitjana poblacional c) La variància poblacional d) 2,0 a) 0,5 b) -0,5 c) 1,0 d) Perquè l'àrea total val 1 a) Per la simetria de la campana b) Pel canvi d'escala unitari c) Perquè z no té unitats d) 48,0 a) 80,0 b) 6,93 c) 12,5 d) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 30 En la inferència estadística paramètrica, quan treballem amb mostres procedents de poblacions que segueixen una distribució normal (vegeu «Distribució normal i ús de taules tipificades»), sorgeixen de manera natural nous models de probabilitat.

Aquests models es construeixen mitjançant operacions algebraiques sobre variables normals tipificades independents i resulten indispensables per al contrast d'hipòtesis i la construcció d'intervals de confiança. ERROR FREQÜENT Confondre el tipus de variable per culpa d'errors manuals de classificació: la distribució khi- quadrat, la t de Student i la F de Snedecor són variables aleatòries contínues (vegeu «Variables aleatòries: discretes i contínues»), mai discretes, ja que prenen qualsevol valor real dins dels seus respectius camps de variabilitat continus.

Distribució khi-quadrat de Pearson ( ) Considerem variables aleatòries que són independents entre si i que segueixen cadascuna una distribució normal tipificada . Si definim una nova variable com la suma dels seus quadrats, obtenim una variable amb distribució khi-quadrat amb n graus de llibertat: Aquesta distribució té les propietats següents: Camp de variabilitat: Com que s'obté sumant termes elevats al quadrat, pren únicament valors estrictament positius; per tant, el seu camp de definició és (0, + ). Paràmetres: La distribució depèn exclusivament dels seus graus de llibertat ( ).

Esperança i variància: El seu valor esperat coincideix amb els graus de llibertat, , i la seva variància val el doble, (vegeu «Variables aleatòries: discretes i contínues»). Forma de la corba: És una corba marcadament asimètrica positiva amb una asímptota horitzontal cap a la dreta, sense asímptota per l'esquerra. A mesura que tendeix a infinit, la distribució tendeix cap a la llei normal. COMPROVA-HO 51 Què passa amb l'esperança i la forma de la distribució khi-quadrat si augmentem progressivament els graus de llibertat n?

Distribució t de Student-Fisher Siguin dues variables aleatòries independents: una variable que segueix una distribució i una variable que segueix una distribució amb graus de llibertat. Es defineix la variable t de Student amb n graus de llibertat mitjançant el quocient següent: Les característiques principals de la distribució són: χ2 n Z , Z , … , Z 1 2 n N(0, 1) χ = n 2 Z + 1 2 Z + 2 2 + Z n 2 n E(χ ) = n 2 n V (χ ) = n 2 2n n χ n 2 Y N(0, 1) X χ n 2 n t = n n X Y t Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 31 Camp de variabilitat: Pot prendre qualsevol valor real, és a dir, . Simetria: És completament simètrica al voltant del zero.

En el punt central 0 coincideixen la mitjana (valor esperat), la mediana i la moda. Esperança i variància: El seu valor esperat és E(t) = 0, i la seva variància és (definida per a ). Aproximació asimptòtica: Depèn únicament dels graus de llibertat . Quan la grandària de la mostra és gran (n 30), la distribució s'aproxima estretament a la normal tipificada . COMPROVA-HO 52 Per què la distribució t de Student és simètrica respecte a zero a diferència de la khi- quadrat? Distribució F de Snedecor Suposem dues variables aleatòries independents, i , tals que i .

Es defineix la distribució F de Snedecor amb n1 i n2 graus de llibertat com el quocient d'ambdues variables dividides cadascuna pels seus respectius graus de llibertat: Aquesta distribució es caracteritza per: Camp de variabilitat: Atès que és un quocient de sumes de quadrats dividides per valors positius, és estrictament positiva: . Paràmetres: Depèn de dos paràmetres enters positius: els graus de llibertat del numerador ( ) i els del denominador ( ). Forma i asimetria: És una distribució asimètrica positiva. Quan tendeix a infinit, la distribució convergeix cap a una distribució relacionada amb (específicament, convergeix a ).

Esperança i variància: El seu valor esperat i la seva variància vénen donats per les expressions: ( , + ) V (t) = n 2 n n > 2 n t N(0, 1) X 1 X 2 X 1 χ n 1 2 X 2 χ n2 2 F = n 2 X 2 n 1 X 1 (0, + ) n 1 n 2 n 2 χ n 1 2 n F 1 χ n 1 2 E(F ) = n ,n 1 2 (per a n > n 2 2 n2 2 2) V (F ) = n ,n 1 2 (per a n > n (n 4)(n 2) 1 2 2 2 2n (n + n 2) 2 2 1 2 2 4) Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 32 ESQUEMA Distribucions mostrals derivades de la normal Comparació de les distribucions mostrals derivades La taula següent sintetitza els aspectes clau d'aquestes tres distribucions contínues: Distribució Construcció analítica Graus de llibertat Domini Simetria Valor esperat Khi-quadrat ( ) Asimètrica positiva t de Student Simètrica en 0 0 F de Snedecor Asimètrica positiva COMPROVA-HO 53 Quina condició necessiten compartir les variables que formen la t de Student i la F de Snedecor en la seva definició?

IDEES CLAU La distribució khi-quadrat ( ) és la suma de variables normals tipificades independents al quadrat, amb camp i esperança . La distribució de Student és el quocient d'una variable normal estàndard dividida per l'arrel quadrada d'una dividida pels seus graus de llibertat. La distribució és simètrica al voltant de 0 i s'aproxima a una normal estàndard per a mostres grans ( ). La distribució de Snedecor és el quocient de dues variables khi-quadrat independents dividides cadascuna pels seus graus de llibertat ( ). Totes tres distribucions són models de variables aleatòries contínues fonamentals per a la inferència paramètrica.

Distribució khi-quadrat Suma de quadrats de N(0,1) Distribució t de Student Quocient de N(0,1) i arrel de khi- quadrat Distribució F de Snedecor Quocient de dues khi-quadrat independents χ2 Z i=1 n i 2 n (0, + ) n X/n Z n ( , + ) X /n 2 2 X /n 1 1 n , n 1 2 (0, + ) n 2 2 n 2 χ n 2 n (0, + ) n t χ2 t n 30 F n , n 1 2 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 33 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 54. Quin és el valor esperat d'una variable aleatòria amb distribució khi-quadrat de 12 graus de llibertat? 55. A partir de quin nombre de graus de llibertat es considera que la t de Student s'aproxima pràcticament a la llei normal? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 56.

Com es defineix formalment una variable khi-quadrat amb n graus de llibertat? 57. Quin és el valor esperat d'una distribució t de Student? 58. Quin és el camp de variabilitat de la distribució F de Snedecor? 59. Què passa amb la t de Student quan n creix fins a assolir o superar 30? 7 Formulari 1. Fonaments de la probabilitat i àlgebra d'esdeveniments Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : probabilitat a priori de l'esdeveniment Enfocament clàssic (Laplace) amb espais mostrals simètrics i equiprobables. : ocurrències observades; : total d'assajos realitzats Enfocament freqüencialista a posteriori en fenòmens asimètrics o empírics.

Suma de n distribucions de Bernoulli a) Suma de n variables normals tipificades al quadrat b) Quocient de dues distribucions normals independents c) Arrel quadrada de n variables exponencials d) n a) 1 b) 0 c) n / (n - 2) d) Valors reals positius (0, + ) a) L'interval tancat [0, 1] b) Valors enters positius [0, n] c) Tot l'eix real (- , + ) d) La seva variància divergeix a infinit a) Esdevé una khi-quadrat b) Es transforma en una F de Snedecor c) S'aproxima a la normal tipificada d) P (A) = Casos Possibles Casos Favorables P (A) A P (A) N n A n A N Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 34 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : esdeveniment complementari o contrari de Deduir la probabilitat que no ocorri ( , ).

: unió (o); : intersecció (i) Teorema de l'addició per a esdeveniments compatibles ( ). Teorema de l'addició per a esdeveniments incompatibles o disjunts. 2. Probabilitat condicional i independència Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : probabilitat de donat que s'ha presentat ; Calcular la probabilitat d'un succés amb espai mostral reduït per . : probabilitat conjunta o simultània Teorema del producte per a esdeveniments dependents. Teorema del producte per a esdeveniments independents.

Comprovació d'independència en taula 2x2 Calcular , i Avaluar si Si es compleix la igualtat són independents; si difereixen són dependents Comprovar formalment la independència estadística entre dues variables. 3. Variables aleatòries discretes i contínues Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : funció de distribució acumulada; : variable; : límit Determinar la probabilitat acumulada que la variable adopti com a molt . : valor esperat o mitjana teòrica; : probabilitat puntual Calcular el centre de gravetat d'una variable aleatòria discreta. o : variància de la variable discreta Quantificar la dispersió teòrica respecte a la mitjana en models discrets.

i : funció de densitat contínua ( ) Càlcul de probabilitats en variables contínues (sempre mitjançant àrees). P (A ) = 1 P (A) A A A P (E) = 1 P ( ) = 0 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A B = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0 P (B/A) = P(A) P(A B) P (B/A) B A P (A) > 0 A P (A B) = P (A) P (B/A) P (A B) P (A B) = P (A) P (B) P (B/A) = P (B) P (A) P (B) P (A B) P (A B) = P (A) P (B) F (x ) = i P (X x ) i F X x i x i E(X) = x i f(x ) i E(X) f(x ) i V (X) = x i 2 f(x ) i [E(X)]2 V (X) σ2 P (X = x ) = i 0 f(x)dx = + 1 f(x) f(x) 0 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 35 4.

Distribució binomial B(n, p) Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : assajos; : èxits ( ); : probabilitat d'èxit Trobar la probabilitat de tenir exactament èxits en proves independents. : nombre d'assajos; : probabilitat d'èxit Valor esperat o mitjana teòrica d'una variable binomial. : probabilitat de fracàs Variància d'un model binomial. Suma de probabilitats puntuals incompatibles Càlcul de probabilitats d'obtenir almenys èxits. 5. Distribució normal N(µ, σ) i aproximació binomial Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : puntuació tipificada; : mitjana; : desviació típica ( ) Estandarditzar una variable per consultar la taula de la normal .

: valor absolut del límit tipificat Propietat de simetria per localitzar àrees de cues oposades a la taula. : límits inferior i superior tipificats Calcular la probabilitat compresa en un interval amb taula de cues exteriors. ; Aproximar una binomial a la normal quan i . 6. Distribucions inferencials associades a la normal Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza independents; : graus de llibertat Distribució khi-quadrat: domini ; , . Asimètrica positiva. ; independents Distribució t de Student: domini ; , ; . ; independents Distribució F de Snedecor: domini ; ( ).

Errors típics d'examen Incompatibilitat versus independència: dos esdeveniments són incompatibles si no poden passar alhora ( ); són independents si l'ocurrència d'un no altera la probabilitat de l'altre ( P (X = k) = p (1 k!(n k)! n!

k p)n k n k 0 k n p k n E(X) = n p n p V (X) = n p q q = 1 p P (k c) = P (i) i=c n c z = i σ x μ i z i μ σ σ > 0 N(0, 1) P (Z > z) = P (Z < z) z P (a < X < b) = 1 [P (Z < z ) + a P (Z > z )] b z , z a b B(n, p) N(n p, ) n p q μ = n p σ = n p q n p 5 n q 5 χ = n 2 Z i=1 n i 2 Z i N(0, 1) n (0, + ) E = n V = 2n t = n X/n Y Y N(0, 1) X χ n 2 ( , + ) E = 0 V = n 2 n n 30 N(0, 1) F = X /n 2 2 X /n 1 1 X 1 χ n 1 2 X 2 χ n 2 2 (0, + ) E = n 2 2 n 2 n > 2 2 P (A B) = 0 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 36 ). Mai són equivalents. Oblit del combinatori a la binomial: calcular només sense multiplicar pel coeficient factorial només calcula una ordenació particular. Recorda a més que .

Probabilitats puntuals en variables contínues: en qualsevol model continu (normal, khi-quadrat, t, F), la probabilitat d'un valor exacte és estrictament nul·la: . La probabilitat sempre és una àrea en un interval. Naturalesa de les distribucions mostrals: la khi-quadrat, la t de Student i la F de Snedecor són variables contínues, mai discretes. P (A B) = P (A) P (B) p q k n k k!(n k)! n! 0! = 1 P (X = x) = 0 Probabilitat i Distribucions " Anàlisi de Dades I 37 Solucions de les preguntes de repàs 1. Només es pot conèixer el conjunt de possibles resultats i la seva estabilitat freqüencial a llarg termini, ja que es tracta d'una experiència aleatòria impredictible a nivell individual. 2.

Dos esdeveniments són incompatibles si la seva intersecció és nul·la ( ), mentre que són compatibles si tenen almenys un element comú ( ). 3. Val , aplicant la regla de l'esdeveniment complementari deduïda dels axiomes de Kolmogorov. 4. L'experiència determinista ofereix sempre el mateix resultat en reproduir-se en idèntiques condicions, mentre que l'aleatòria té un resultat impredictible que varia entre els elements del seu espai mostral. 5. Quan els resultats possibles de l'experiment no són equiprobables o simètrics (com en una xinxeta asimètrica), fent impossible calcular la probabilitat a priori sense realitzar assajos empírics. 6.

El terme esdevé nul (0) en ser la intersecció un conjunt buit, de manera que la probabilitat de la unió és simplement la suma . 7. b) Conèixer trets poblacionals mitjançant una mostra. La inferència busca generalitzar propietats de la població a partir d'observacions mostrals emprant la probabilitat. 8. c) Un subconjunt amb un sol resultat possible. L'esdeveniment elemental està format per un únic element pertanyent a l'espai mostral. 9. a) Probabilitat freqüencialista a posteriori. S'estima a posteriori mitjançant la…