Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS

I 0 flashcards i 7 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS ANÀLISI DE DADES EN PSICOLOGIA I Grau en Psicologia Universitat de Girona AprenAI 2026-2027 Apunts complets d'Anàlisi de Dades en Psicologia I (UdG): estadística descriptiva, percentils, variància, correlació de Pearson i Spearman, i pràctiques amb SPSS.

APREN.AI Índex 1 Introducció a l'estadística, conceptes bàsics i escales de mesura Branques de l'estadística i conceptes bàsics Tipologia de variables estadístiques Mesura i escales de mesura Organització de les dades en una matriu 2 Organització de dades, taules de freqüències i representacions gràfiques Organització de dades i distribucions de freqüències Percentatges, percentatges vàlids i acumulats Representacions gràfiques per a dades categòriques Representacions gràfiques per a dades quantitatives Altres representacions de síntesi: tija i fulles i diagrama de caixa 3 Mesures de posició no central: quantils, percentils, quartils i decils Mesures de posició en una distribució Tipus de quantils i relacions d'equivalència Càlcul empíric dels percentils amb taules de freqüències 4 Mesures de tendència central i puntuacions diferencials La mitjana aritmètica La mitjana ponderada de subgrups La mediana i la moda Puntuacions diferencials 5 Mesures de dispersió o variació i representativitat de la mitjana Mesures absolutes de dispersió Càlcul pas a pas de la variància i desviació típica Mesura relativa de dispersió i representativitat de la mitjana 6 Fonaments d'inferència, associació bivariable i proves estadístiques Fonaments de la inferència estadística i presa de decisions Elecció metodològica: estadística paramètrica i no paramètrica Associació lineal entre variables quantitatives: covariància i Pearson Associació no paramètrica mitjançant rangs: correlació de Spearman Associació entre variables qualitatives: taules de contingència i Khi-quadrat 7 Gestió de dades i anàlisi descriptiva amb SPSS L'entorn de treball d'SPSS: Vista de dades i Vista de variables Manipulació i transformació de la matriu de dades Anàlisi descriptiva univariable: Frecuencias i Descriptivos Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 1 8 Formulari Distribució de freqüències i quantils Mesures de tendència central i puntuacions derivades Mesures de dispersió i representativitat Associació bivariable i contrast d'hipòtesis Regles de decisió i errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 2 1 Introducció a l'estadística, conceptes bàsics i escales de mesura EN ACABAR SABRÀS Distingir entre estadística descriptiva i inferencial, així com entre paràmetre i estadístic. Classificar correctament qualsevol variable segons la seva naturalesa qualitativa o quantitativa. Identificar les quatre escales de mesura i determinar les operacions matemàtiques que admet cadascuna. Interpretar l'estructura d'una matriu de dades i diferenciar la notació d'entrada xi de la notació ordenada x(i).

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si assignem els números 1, 2 i 3 als nivells de depressió baix, mitjà i alt, té sentit calcular la mitjana aritmètica d'aquestes xifres? L'estadística constitueix la base metodològica per analitzar dades empíriques en psicologia. Permet transformar observacions individuals en informació estructurada i contrastable per prendre decisions rigoroses. ESQUEMA Estructura general de l'anàlisi de dades Branques de l'estadística i conceptes bàsics L'anàlisi de dades es divideix en dues grans disciplines complementàries: Estadística descriptiva: organitza, sintetitza i presenta les dades d'una mostra o col·lectiu mitjançant indicadors numèrics, taules i gràfics informatius.

Estadística inferencial: permet formular prediccions i generalitzacions sobre una població a partir de les observacions d'una mostra, gestionant el grau d'incertesa existent.

Estadística descriptiva Organització i síntesi de dades mostrals Conceptes bàsics Població, mostra, paràmetres i estadístics Escales de mesura Nominal, ordinal, interval i raó Matriu de dades Organització per subjectes i variables Estadística inferencial Generalitzacions de la mostra a la població Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 3 Per comprendre aquesta distinció cal dominar els conceptes fonamentals que articulen qualsevol recerca: Població: conjunt global d'elements que comparteixen propietats comunes clarament definides. Un exemple seria el conjunt total d'estudiants universitaris de Catalunya.

Mostra: qualsevol subconjunt representatiu extret d'una població determinada, com els estudiants matriculats a primer curs del grau de Psicologia de la UdG. Paràmetre: propietat numèrica que resumeix o caracteritza tota la població. Els seus valors són constants per a una població donada. Estadístic: mesura calculada directament a partir de les dades d'una mostra. El seu valor varia d'una mostra a una altra a causa de la variabilitat mostral. Variable: atribut o característica que pot prendre valors diferents entre els membres d'un col·lectiu concret, com l'edat o el pes.

Constant: propietat empírica que es manté fixa sense canviar al llarg del temps dins d'un sistema, com la temperatura de congelació de l'aigua o el nombre de dies d'un any determinat. COMPROVA-HO 2 En què es distingeix fonamentalment un paràmetre d'un estadístic?

Tipologia de variables estadístiques Les variables s'estructuren segons la naturalesa de les dades i la seva capacitat de quantificació: ESQUEMA Classificació de les variables estadístiques Variables qualitatives o categòriques Són propietats que no admeten quantificació numèrica natural, sinó que agrupen els subjectes en classes o modalitats: Variables qualitatives Característiques no quantificables dividides en categories Nominals Categories sense cap relació d'ordre Ordinals Categories amb relació d'ordre establerta Variables quantitatives Característiques quantificables mesurades amb nombres Discretes Valors aïllats sense punts intermedis possibles Contínues Infinits valors possibles entre dos punts Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 4 Dicotòmiques o binàries: només presenten dues categories excloents, com el sexe (home/dona) o la presència d'hipertensió arterial (sí/no).

Nominals politòmiques: consten de més de dues categories sense cap ordenació jeràrquica ni lògica subjacent. En són exemples l'estat civil (casat, solter, divorciat, separat, vidu), el grup sanguini (A, B, AB, O) o el color de cabell. Ordinals: admeten una seqüència o gradació lògica de rang, com la intensitat del dolor (+, ++, +++) o el nivell de depressió (baix, mitjà, alt). Variables quantitatives o numèriques Mesuren una característica mitjançant valors numèrics reals amb significat quantitatiu directe: Discretes: només adopten valors concrets aïllats; entre dos valors consecutius no en pot existir cap d'intermedi.

En són exemples el nombre de germans o el nombre de visites anuals d'un pacient a teràpia. Contínues: poden prendre en teoria infinits valors intermedis entre dos punts qualsevol, estant només limitades per la precisió de l'instrument de mesura. En són exemples el pes, l'alçada, el nivell de colesterol o l'edat exacta. Una característica quantitativa es pot recodificar en categories ordinals (com establir intervals d'edat: menors de 15 anys, 15-29 anys, etc.) o dicotòmiques (edat inferior o superior a 45 anys). Malgrat això, sempre que sigui possible és preferible registrar les dades en format quantitatiu original per evitar pèrdua d'informació.

COMPROVA-HO 3 Per què el nombre de fills és una variable discreta mentre que el pes és una variable contínua? Mesura i escales de mesura DEFINICIÓ Mesurar consisteix a utilitzar nombres com a model abstracte per representar la realitat. S'estableix una escala de mesura quan es fa correspondre un únic nombre a cada modalitat d'una variable. Hi ha quatre escales progressives de mesura: Escala nominal: els números actuen exclusivament com a etiquetes per reconèixer o distingir categories. Només admet relacions d'igualtat o diferència ( o ). Exemples: sexe codificat com a 0 i 1, o estat civil.

1 A = B A = B Escala ordinal: els números reflecteixen igualtat i introdueixen una relació d'ordre o jerarquia ( o ). Permeten ordenar posicions, però la distància numèrica entre categories no és constant. Exemples: nivell socioeconòmic o gravetat d'un símptoma.

2 A > B A < B Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 5 Escala Tipus de variable Relacions matemàtiques admeses Zero Exemples habituals Nominal Qualitativa Igualtat / Desigualtat Inexistent Sexe, grup sanguini, diagnòstic Ordinal Qualitativa Igualtat i ordre (>, <) Inexistent Nivell socioeconòmic, grau de dolor Interval Quantitativa Ordre i igualtat de diferències Arbitrari Temperatura (°C, °F) Raó Quantitativa Ordre, diferències i raons numèriques Absolut Pes, alçada, temps de reacció ERROR FREQÜENT Un error greu en l'examen és tractar una variable ordinal codificada amb números com si fos quantitativa.

Si codifiquem el dolor com a 1 (lleu), 2 (moderat) i 3 (intens), la diferència entre 1 i 2 no és necessàriament idèntica a la diferència entre 2 i 3, ni un nivell 2 significa el doble de dolor que 1. No s'hi poden aplicar operacions aritmètiques pròpies d'escales quantitatives. COMPROVA-HO 4 Quina és la diferència crucial entre una escala d'interval i una escala de raó respecte al valor zero?

Organització de les dades en una matriu A la pràctica investigadora i en programes estadístics (com SPSS; vegeu «Gestió de dades i anàlisi descriptiva amb SPSS»), les dades s'ordenen en una matriu de dades estructural on les files representen els casos o subjectes individuals i les columnes contenen les variables analitzades. Quan s'analitza una variable numèrica amb un conjunt de observacions, s'empren dues notacions formals diferenciades: Ordre de recollida de dades: les observacions en l'ordre original d'entrada es denoten com , o de manera genèrica (on és l'índex del subjecte).

Valors ordenats per magnitud: quan s'ordenen les quantitats de menor a major valor empíric, s'utilitzen parèntesis en el subíndex: . D'aquesta manera, representa la puntuació mínima obtinguda i el valor màxim de la distribució. Escala d'interval: disposa d'ordre i d'una unitat de mesura constant, de manera que les distàncies entre valors són equiparables. El zero és arbitrari o convencional (no indica absència total de la característica). Exemples: temperatura en graus centígrads o Fahrenheit. 3 Escala de raó: a més d'unitat constant, compta amb un zero absolut que indica l'absència real del tret mesurat. Permet comparar raons o proporcions numèriques ( ).

Exemples: pes, alçada o temps de reacció. 4 A = 2B X n x , x , x , …, x 1 2 3 n x i i = 1, …, n x , x , …, x (1) (2) (n) x (1) x (n) Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 6 EXEMPLE Considerem una mostra de observacions corresponents a una variable : 9 5 6 8 8 9 12 4 7 3 11 8 4 5 2 6 4 8 17 3 13 11 7 7 4 7 12 En l'ordre d'entrada de la matriu tenim , i . En canvi, si s'ordenen les dades de manera creixent per magnitud, el valor mínim és i el valor màxim registrat és . Per aprofundir en com es tabulen i grafiquen aquestes observacions, vegeu «Organització de dades, taules de freqüències i representacions gràfiques».

IDEES CLAU L'estadística descriptiva organitza i resumeix dades d'una mostra, mentre que la inferencial obté conclusions sobre la població assumint un marge d'incertesa. El paràmetre resumeix una propietat de la població sencera, mentre que l'estadístic es calcula sobre una mostra i varia entre mostres. Les variables qualitatives expressen categories (nominals o ordinals), mentre que les quantitatives prenen valors numèrics (discrets o continus). Les escales de mesura determinen les operacions permeses: nominal (igualtat), ordinal (ordre), interval (unitat constant amb zero arbitrari) i raó (zero absolut).

En una matriu de dades, representa l'observació en l'ordre de recollida, mentre que indica la posició un cop ordenats els valors de menor a major. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. En un estudi sobre estrès laboral, què representen la mitjana d'estrès de tots els treballadors d'una multinacional i la d'un grup de 50 treballadors avaluats? 6. Quina diferència d'informació expressen les notacions i en una matriu de dades? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 7. Quina branca de l'estadística generalitza conclusions a una població a partir d'una mostra?

n = 27 X x = 1 9 x = 2 5 x = 27 12 x = (1) 2 x = (27) 17 x i x (i) x 1 x (1) Estadística exploratòria a) Estadística inferencial b) Estadística descriptiva c) Estadística bivariable d) Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 7 8. Com es classifica la variable 'nombre de pacients atesos en una hora'? 9. Quina característica distingeix l'escala de raó respecte a la d'interval? 10. En la notació d'observacions ordenades, què representa el símbol x(n)? 2 Organització de dades, taules de freqüències i representacions gràfiques EN ACABAR SABRÀS Construir i interpretar una taula completa de distribució de freqüències i percentatges.

Distingir la diferència metodològica entre un diagrama de barres i un histograma. Seleccionar la representació gràfica escaient segons el nivell de mesura de la variable. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 11 Per què no s'hauria de representar la variable pes o alçada amb un diagrama de barres separades? Organització de dades i distribucions de freqüències Quan es recullen dades en una recerca psicològica, la informació en brut resulta inintel·ligible. El primer pas de l'estadística descriptiva (vegeu «Introducció a l'estadística, conceptes bàsics i escales de mesura») consisteix a ordenar i sintetitzar aquestes observacions mitjançant una distribució de freqüències.

Una taula de freqüències organitza els valors individuals o agrupats d'una variable al costat del nombre de vegades que apareixen. Els seus components fonamentals són: Freqüència absoluta ( ): és el recompte directe d'observacions registrades per a cada categoria o valor. La suma de totes les freqüències absolutes és igual al total de casos de la mostra ( ). Freqüència absoluta acumulada ( ): nombre total de casos que presenten el valor en qüestió o qualsevol valor inferior en l'escala. Només té sentit per a variables ordenables (ordinals o quantitatives). Freqüència relativa o proporció ( ): proporció de casos de cada categoria respecte al total. Es calcula amb la fórmula .

La seva suma sempre és 1. Quan aquesta proporció es refereix a Qualitativa ordinal a) Quantitativa contínua b) Quantitativa discreta c) Qualitativa dicotòmica d) Existència de categories a) Unitat de mesura variable b) Zero absolut no arbitrari c) Presència d'ordre d) La mitjana mostral a) L'últim cas registrat b) El valor màxim c) El valor mínim d) n i N n a p i p = i N n i Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 8 l'aparició d'un fenomen durant un interval de temps, es parla de taxa (expressada freqüentment per cada 1.000 o 100.000 habitants).

Freqüència relativa acumulada ( ): proporció acumulada de casos fins a un determinat nivell, obtinguda com (vegeu «Mesures de posició no central: quantils, percentils, quartils i decils»). DEFINICIÓ El percentil o centil associat a una puntuació específica s'obté a partir de la freqüència relativa acumulada multiplicada per cent: . Indica el percentatge d'observacions de la mostra que queden per sota o igualen aquest valor. Percentatges, percentatges vàlids i acumulats En el tractament informàtic de dades (vegeu «Gestió de dades i anàlisi descriptiva amb SPSS»), és habitual trobar valors absents o no registrats.

Per aquest motiu es distingeixen tres càlculs percentuals: Tipus de percentatge Fórmula de càlcul Interpretació analítica Percentatge total Percentatge calculat sobre el conjunt global de la mostra, incloent-hi els casos perduts. Percentatge vàlid Percentatge calculat exclusivament sobre els subjectes amb resposta observada i vàlida. Percentatge acumulat Suma progressiva dels percentatges vàlids des del valor mínim fins a la categoria corresponent. COMPROVA-HO 12 Quina diferència hi ha entre el percentatge total i el percentatge vàlid si una mostra conté casos perduts?

Representacions gràfiques per a dades categòriques Les variables qualitatives o categòriques (nominals i ordinals) requereixen representacions visuals on la geometria simbolitzi recomptes o proporcions d'atributs discrets. El diagrama de barres (o de columnes) assigna a cada categoria una barra independent. L'alçada o longitud de la barra és directament proporcional a la freqüència absoluta o al percentatge de cada grup. Les categories es representen separades sobre un eix, indicant la discontinuïtat entre classes.

p a p = a N n a Centil = 100 × p a × N total n i 100 × N v lids a ˋ ni 100 × N v lids a ˋ na 100 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 9 Diagrama de barres mostrant percentatges per a tipologies familiars. El diagrama de sectors (conegut com a gràfic circular o de pastís) divideix un cercle complet entre les diferents categories. L'angle i l'àrea de cada porció resulten proporcionals a la freqüència o al percentatge de casos que pertanyen a aquest atribut respecte al conjunt total. Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 10 Diagrama de sectors circular que representa la distribució percentual d'esports.

ERROR FREQÜENT Utilitzar un diagrama de sectors quan hi ha moltes categories o quan les diferències percentuals són mínimes. En aquests casos, l'ull humà té dificultats per comparar angles; és molt més rigorós utilitzar un diagrama de barres ordenat per freqüència decreixent. Representacions gràfiques per a dades quantitatives Quan la variable és numèrica (discreta o contínua), l'anàlisi requereix reflectir la continuïtat, la forma de la distribució o l'evolució entre variables. L'histograma és la representació principal per a conjunts amplis de dades quantitatives agrupades en intervals de classe.

A l'eix d'abscisses es disposen els intervals de la variable contínua, i sobre cadascun s'aixeca un rectangle contigu sense espais intermedis. L'àrea del rectangle és directament proporcional a la freqüència observada en l'interval. Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 11 Histograma de freqüències i percentatges per a coeficient d'intel·ligència. Els gràfics de línies uneixen punts mitjançant segments continus per reflectir el comportament d'una variable dependent respecte a una d'independent. S'utilitzen sobretot per avaluar l'evolució temporal d'una mesura o per contrastar tendències entre diverses condicions experimentals.

Existeix una diferència metodològica fonamental entre el diagrama de barres i l'histograma: Criteri Diagrama de barres Histograma Tipus de variable Qualitativa (nominal/ordinal) o discreta. Quantitativa contínua o agrupada en intervals. Separació visual Barres separades per espais lliures. Rectangles adjacents sense separació. Significat de l'eix X Categories discretes i independents. Escala numèrica contínua amb límits d'interval. Propòsit principal Comparar freqüències directes d'atributs. Copsar la forma, dispersió i calcular probabilitats. COMPROVA-HO 13 Per què les barres d'un histograma s'han de dibuixar enganxades entre elles sense cap espai?

Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 12 Altres representacions de síntesi: tija i fulles i diagrama de caixa A més de les gràfiques convencionals, la pràctica estadística disposa de tècniques semigràfiques per explorar distribucions numèriques: Gràfic de tija i fulles (stem-and-leaf): és una variant de l'histograma que conserva el valor numèric individual de cada observació. Divideix cada xifra en una part inicial o tronc (la tija, que agrupa els dígits principals) i l'últim dígit (la fulla), ordenant les dades i mostrant la forma de la distribució simultàniament.

Diagrama de caixa (boxplot): representació sintètica que utilitza un rectangle delimitat pel primer quartil ( ) i el tercer quartil ( ) (vegeu «Mesures de posició no central: quantils, percentils, quartils i decils»). A l'interior de la caixa s'indica la posició de la mediana (segon quartil). Dels extrems de la caixa surten uns segments anomenats bigotis (whiskers) que s'estenen cap als valors mínim i màxim no anòmals.

ESQUEMA Selecció de gràfics segons la variable PER RECORDAR-HO Recorda la regla mnemotècnica d'elecció: si la variable són paraules o categories, tria barres o sectors; si són nombres agrupats continus, utilitza un histograma; si vols veure resum de quartils i valors extrems, l'opció òptima és el boxplot. COMPROVA-HO 14 Quins paràmetres de posició delimiten directament el cos central (la caixa) d'un diagrama de caixa?

Q 1 Q 3 Variables categòriques Escales nominals o ordinals Diagrama de barres Barres separades proporcionals al recompte Diagrama de sectors Porcions angulars del total Variables quantitatives Escales d'interval o de raó Histograma Rectangles contigus en intervals continus Gràfic de línies Tendències i evolució temporal Diagrama de caixa Resum de quartils i extrems Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 13 IDEES CLAU La distribució de freqüències resumeix la mostra mitjançant el recompte absolut ( ), l'acumulat ( ) i les proporcions relatives ( ). El percentil o centil d'un valor equival directament a multiplicar la seva freqüència relativa acumulada per 100 ( ).

Els diagrames de barres i els diagrames de sectors s'empren per a variables qualitatives, presentant categories aïllades. L'histograma s'utilitza per a variables quantitatives contínues agrupades en intervals, unint els rectangles per reflectir la continuïtat de l'escala. El diagrama de caixa o boxplot sintetitza la distribució a través dels quartils ( , mediana i ) i els seus bigotis fins als valors extrems. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 15. Com es calcula el centil d'una puntuació a partir de la seva freqüència relativa acumulada ( )? 16. Per què no s'ha d'utilitzar un histograma per representar una variable nominal com l'estat civil? Test Encercla la resposta correcta.

Les solucions són al final. 17. Quin gràfic representa variables contínues mitjançant rectangles contigus que reflecteixen la densitat de dades? 18. Com s'obté la freqüència relativa pi associada a una categoria concreta? 19. Quins valors delimiten els extrems del rectangle principal en un diagrama de caixa? 20. En una base amb respostes buides, quin percentatge s'obté dividint ni només entre els subjectes que han contestat?

n i n a p = i N n i Centil = 100 × p a Q 1 Q 3 p a Diagrama de sectors a) Gràfic de dispersió b) Histograma c) Diagrama de barres d) Dividint ni entre N a) Dividint na entre 100 b) Sumant na i N c) Multiplicant ni per 100 d) El mínim i el màxim absoluts a) El primer i el tercer quartil b) La mitjana i la desviació típica c) El percentil 10 i el percentil 90 d) Percentatge total a) Percentatge acumulat total b) Percentatge vàlid c) Taxa poblacional d) Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 14 3 Mesures de posició no central: quantils, percentils, quartils i decils EN ACABAR SABRÀS Distingir les mesures de posició no central (quantils) de les mesures de tendència central.

Calcular el rang percentil d'una observació mitjançant les freqüències relatives acumulades. Identificar les equivalències exactes entre quartils, decils, percentils i la mediana. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 21 Si una persona obté un percentil 85 en una prova psicològica, vol dir que ha encertat el 85 % de les preguntes? Mesures de posició en una distribució Les mesures de posició assenyalen la ubicació precisa d'una observació individual dins del conjunt del grup de referència. Quan s'avalua una variable quantitativa, conèixer la posició relativa permet comparar subjectes, avaluar la presència d'un tret psicològic o interpretar el rendiment en una prova.

Aquestes mesures es divideixen en dos grans blocs: Mesures de tendència central: identifiquen el punt mitjà o típic del conjunt (mitjana, mediana i moda; vegeu «Mesures de tendència central i puntuacions diferencials»). Mesures de posició no central o quantils: divideixen la distribució ordenada de dades en segments que acumulen percentatges fixos d'observacions. Els quantils principals utilitzats en la recerca psicològica i psicomètrica són els quartils, decils i percentils (també coneguts com centils). Faciliten l'ordenació i la comparació independentment de la mida original de la mostra. COMPROVA-HO 22 Quina finalitat té una mesura de posició no central respecte a una de tendència central?

Tipus de quantils i relacions d'equivalència Els quantils reben diferents denominacions segons el nombre de fragments equivalents en què es fragmenta el conjunt ordenat d'observacions: Quantil Símbol Punts de tall Percentatge acumulat per segment Quartils 3 puntuacions 25 % cadascun (4 parts iguals) Decils 9 puntuacions 10 % cadascun (10 parts iguals) Percentils o Centils 99 puntuacions 1 % cadascun (100 parts iguals) Q , Q , Q 1 2 3 D , D , ..., D 1 2 9 C , C , ..., C 1 2 99 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 15 Aquestes divisions comparteixen punts de tall idèntics al llarg de la recta de valors.

D'aquesta manera, es verifiquen les equivalències canòniques següents: El primer quartil equival al centil 25: . El segon quartil equival al cinquè decil i al centil 50: . Aquesta mesura coincideix exactament amb la mediana de la distribució. El tercer quartil correspon al centil 75: . ESQUEMA Partició de la distribució segons quantils DEFINICIÓ Un percentil o centil és el valor numèric que deixa per sota un percentatge concret de les observacions d'una mostra o població ordenada. Per exemple, el percentil 30 deixa per sota de si el 30 % dels casos. COMPROVA-HO 23 Si una persona se situa en el decil 5 ( ), quin quartil i quin centil li corresponen?

Càlcul empíric dels percentils amb taules de freqüències Per localitzar el percentil associat a cada valor observat , s'empren les freqüències acumulades obtingudes en la distribució de freqüències (vegeu «Organització de dades, taules de freqüències i representacions gràfiques»).

El procediment matemàtic es regeix per les fórmules canòniques: Q = 1 C 25 Q = 2 D = 5 C 50 Q = 3 C 75 Quantils Mesures de posició no central Quartils (Q) 3 punts de tall (25 % cadascun) Q1 = C25 Acumula el primer 25 % Q2 = D5 = C50 Coincideix amb la mediana Q3 = C75 Acumula el 75 % dels casos Decils (D) 9 punts de tall (10 % cadascun) Percentils (C) 99 punts de tall (1 % cadascun) D 5 X i p = i N n i Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 16 On és la freqüència absoluta del valor, la freqüència absoluta acumulada i la mida total de la mostra.

El centil corresponent a una puntuació específica s'obté a partir de la seva freqüència relativa acumulada: Per determinar la posició d'un quantil es segueix aquesta seqüència: ERROR FREQÜENT Confondre la freqüència relativa simple ( ) amb la relativa acumulada ( ). Multiplicar proporciona el percentatge de casos que tenen exactament aquell valor, no pas el percentil. El percentil requereix sempre el sumatori acumulat ( ). COMPROVA-HO 24 En una mostra amb , un valor té una freqüència acumulada . Quin centil li correspon? IDEES CLAU Les mesures de posició no central permeten situar una observació individual dins del conjunt d'un grup de referència.

Els quartils divideixen les dades ordenades en 4 parts del 25 %, els decils en 10 parts del 10 % i els centils en 100 parts de l'1 %. Existeixen equivalències canòniques estrictes: , (mediana) i . El càlcul del percentil d'una puntuació s'obté mitjançant la fórmula a partir de la freqüència relativa acumulada. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 25. Com es defineix el quartil 3 ( ) en termes de percentils i quin percentatge d'observacions deixa per sota? 26. A partir de quina columna d'una distribució de freqüències s'obté directament el centil d'un valor empíric? p = a N n a n i n a N Centil = 100 × p a Ordenar de menor a major els valors observats de la variable ( ).

1 X i Comptabilitzar la freqüència absoluta ( ) i acumular els recomptes successius per obtenir . 2 n i n a Calcular la proporció o freqüència relativa acumulada dividint per la grandària mostral ( ). 3 p = a n /N a Multiplicar per 100 per identificar el centil exacte que deixa per sota aquesta puntuació empírica. 4 p a p i p a p × i 100 p a N = 200 X = 9 n = a 50 Q = 1 C 25 Q = 2 D = 5 C 50 Q = 3 C 75 Centil = 100 × p a Q 3 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 17 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 27. Quantes puntuacions o punts de tall defineixen els quartils d'una distribució? 28.

A quina mesura de tendència central equival exactament el percentil 50? 29. Si una puntuació té una freqüència relativa acumulada de 0,80, quin centil li correspon? 30. Quin decil coincideix amb el percentil 50 i el segon quartil? 4 Mesures de tendència central i puntuacions diferencials EN ACABAR SABRÀS Calcular la mitjana aritmètica simple, agrupada en freqüències i ponderada. Triar adequadament entre mitjana i mediana en funció de la presència de valors extrems. Determinar la moda en casos unimodals, bimodals i de valors consecutius. Obtenir i interpretar les puntuacions diferencials verificant la seva propietat de suma zero.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 31 Si nou persones cobren 1.000 € al mes i una desena en cobra 51.000 €, quina xifra reflecteix millor el sou típic del grup: la mitjana o la mediana? Les mesures de tendència central resumeixen un conjunt de dades en un únic valor representatiu al voltant del qual s'agrupen les observacions. Segons el tipus d'escala i la distribució de la mostra, s'utilitza la mitjana aritmètica, la mediana o la moda.

Tres puntuacions a) Quatre puntuacions b) Vint-i-cinc puntuacions c) Cent puntuacions d) A la variància a) A la mitjana aritmètica b) A la moda c) A la mediana d) Centil 20 a) Centil 8 b) Centil 80 c) Centil 16 d) El decil 50 a) El decil 5 b) El decil 10 c) El decil 2 d) Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 18 La mitjana aritmètica La mitjana aritmètica és el centre de gravetat de les dades quantitatives. Es representa habitualment com a quan es calcula sobre una mostra i com a quan descriu tota la població (vegeu «Introducció a l'estadística, conceptes bàsics i escales de mesura»).

DEFINICIÓ La mitjana és el quocient entre la suma de totes les observacions i el nombre total de casos ( o ): Quan disposem de dades agrupades en una distribució de freqüències (vegeu «Organització de dades, taules de freqüències i representacions gràfiques»), cal ponderar cada valor observat per la seva freqüència absoluta : Per exemple, si tenim els valors amb freqüències respectives (on ): ERROR FREQÜENT Oblidar multiplicar cada valor per la seva freqüència absoluta abans de sumar condueix a un càlcul erroni de la mitjana en dades agrupades. Sempre cal calcular i dividir pel total de subjectes , mai fer la mitjana simple dels valors .

La limitació principal de la mitjana és la seva alta sensibilitat als valors extrems. Una única dada atípica molt allunyada desplaça el valor calculat i pot oferir una imatge distorsionada del grup. COMPROVA-HO 32 Què passa amb la mitjana aritmètica si una sola observació augmenta de manera desproporcionada? La mitjana ponderada de subgrups Quan es combinen diversos grups que presenten mides mostrals diferents, no es pot aplicar una mitjana directa de les seves mitjanes. Cal emprar la mitjana ponderada, la qual atorga a cada grup un pes proporcional al seu nombre de participants.

X ˉ μ N n = X ˉ n X i X i n i = X ˉ n X n i i X = i 10, 20, 30, 40 n = i 2, 4, 3, 2 n = 11 Multipliquem cada observació per la seva freqüència: , , , . 1 10 2 = 20 20 4 = 80 30 3 = 90 40 2 = 80 Sumem els productes: . 2 20 + 80 + 90 + 80 = 270 Dividim pel total d'observacions: .

3 = X ˉ = 11 270 24,55 X i n i n X i Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 19 DEFINICIÓ Per a un conjunt de grups amb mitjanes i mides , la mitjana total ve donada per: EXEMPLE Imaginem tres subgrups de recerca: Grup 1: , mitjana Grup 2: , mitjana Grup 3: , mitjana Càlcul de la mitjana ponderada: La mediana i la moda Quan la mitjana aritmètica no és representativa per culpa de distribucions asimètriques o puntuacions extremes, s'utilitza la mediana. DEFINICIÓ La mediana és el valor que divideix la distribució ordenada exactament en dues meitats: supera el 50% de les observacions i en deixa el 50% restant per sobre.

Coincideix amb el percentil 50 ( ) i el segon quartil ( ; vegeu «Mesures de posició no central: quantils, percentils, quartils i decils»). Per determinar la mediana cal ordenar prèviament les dades de menor a major. Si el nombre d'observacions és senar, és el valor central. Si la mostra és parell, es pren la mitjana aritmètica dels dos valors centrals. La moda és l'observació o categoria que apareix amb major freqüència absoluta. És l'única mesura aplicable a variables qualitatives o nominals (vegeu «Introducció a l'estadística, conceptes bàsics i escales de mesura»). Unimodal: la distribució té un únic valor dominant.

Bimodal o multimodal: existeixen dues o més observacions que comparteixen la freqüència màxima (per exemple, les dades 20, 4, 0, 30, 12, 17, 0, 30, 30, 78, 0, 8, 8 tenen dues modes: 0 i 30). Valors consecutius: si dues puntuacions adjacents presenten la màxima freqüència, la moda s'obté calculant la seva mitjana aritmètica (per exemple, si 0 i 1 empaten en freqüència màxima, la moda és ). k , , … , X ˉ1 X ˉ2 X ˉk n , n , …

, n 1 2 k = X ˉT n + n + + n 1 2 k n + n + + n X ˉ1 1 X ˉ2 2 X ˉk k n = 1 6 = X ˉ1 5 n = 2 4 = X ˉ2 9 n = 3 4 = X ˉ3 12 = X ˉT = 6 + 4 + 4 (5 6) + (9 4) + (12 4) = 14 30 + 36 + 48 = 14 114 8,14 P 50 Q 2 = 2 0+1 0,5 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 20 Mesura Definició resumida Sensibilitat a valors extrems Escala adequada Mitjana Suma dividida pel nombre total de casos Molt alta Quantitativa (interval/raó) Mediana Punt central ( ) que separa el 50% inferior i superior Nul·la (insensible) Ordinal i quantitativa Moda Valor o atribut amb major freqüència Nul·la Nominal, ordinal i quantitativa COMPROVA-HO 33 Quina mesura de tendència central s'ha de triar per descriure els ingressos d'una mostra amb fortes asimetries i valors atípics molt elevats?

Puntuacions diferencials Les dades directes ( ) indiquen el resultat brut, però no ofereixen informació sobre la posició relativa de l'individu dins del seu grup de referència. DEFINICIÓ Les puntuacions diferencials expressen la desviació de cada puntuació directa respecte a la mitjana aritmètica del conjunt: Una puntuació diferencial positiva indica que la dada es troba per sobre de la mitjana del grup; un valor negatiu indica que se situa per sota, i un valor igual a zero coincideix exactament amb la mitjana. EXEMPLE Considerem quatre subjectes amb les puntuacions directes: , , , .

La mitjana del grup és: Les puntuacions diferencials són: (el subjecte està 1,5 punts per sota de la mitjana) (el subjecte està 2,5 punts per sobre de la mitjana) Una propietat fonamental de les puntuacions diferencials és que la seva suma algebraica és sempre zero: P 50 X i x = i X i X ˉ X = 1 8 X = 2 12 X = 3 10 X = 4 8 = X ˉ = 4 8 + 12 + 10 + 8 = 4 38 9,5 x = 1 8 9,5 = 1,5 x = 2 12 9,5 = 2,5 x = 3 10 9,5 = 0,5 x = 4 8 9,5 = 1,5 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 21 Comprovem-ho amb l'exemple anterior: . Aquesta propietat és la base per al càlcul posterior de la variància (vegeu «Mesures de dispersió o variació i representativitat de la mitjana»).

ESQUEMA Mesures de tendència central COMPROVA-HO 34 Quant val sempre la suma de totes les puntuacions diferencials d'una mostra? IDEES CLAU La mitjana aritmètica és el quocient entre la suma de totes les dades i el nombre de subjectes, sent molt sensible a valors atípics. Quan es combinen subgrups de mides desiguals cal fer servir la mitjana ponderada, ponderant cada mitjana pel nombre de subjectes del seu grup. La mediana és el terme central que deixa el 50% de les observacions per sota i el 50% per sobre, recomanada en mostres asimètriques. La moda correspon al valor més freqüent; si dues observacions adjacents empaten en freqüència màxima, es calcula la seva mitjana aritmètica.

Les puntuacions diferencials ( ) indiquen la desviació respecte a la mitjana i sumen necessàriament zero. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 35. Com es calcula la mitjana ponderada quan tenim diversos subgrups amb mitjanes i mides diferents? 36. En quina situació estadística és preferible utilitzar la mediana en lloc de la mitjana aritmètica? 37. Si una persona obté una puntuació diferencial de -1,5 en una prova, com s'interpreta aquest resultat?

x = i (X i ) = X ˉ 0 ( 1,5) + 2,5 + 0,5 + ( 1,5) = 0 Mitjana aritmètica Sensible a extrems; dades quantitatives Mitjana ponderada Pondera segons la mida de subgrups Mediana (P50) Insensible a extrems; 50% superior/inferior Moda Valor o categoria més freqüent x = i X i X ˉ Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 22 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 38. Quina mesura de tendència central s'utilitza en presència de valors extrems? 39. Quant val sempre la suma de les puntuacions diferencials? 40. Què es fa si dos valors consecutius tenen la màxima freqüència? 41. Com es calcula la mitjana total de diversos subgrups?

5 Mesures de dispersió o variació i representativitat de la mitjana EN ACABAR SABRÀS Distingir les característiques i unitats de mesura del rang, la variància i la desviació típica. Calcular la variància i la desviació típica a partir d'una distribució de dades agrupades. Calcular el coeficient de variació per avaluar la representativitat de la mitjana aritmètica i comparar diferents grups. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 42 Si dos grups d'estudiants obtenen exactament la mateixa nota mitjana de 6 en un examen, es pot assegurar que tenen el mateix nivell de rendiment homogeni? Una mesura de posició central per si sola ofereix una imatge incompleta d'un conjunt de dades.

Dues mostres poden compartir exactament la mateixa mitjana aritmètica i presentar distribucions totalment diferents: una molt compacta i una altra amb puntuacions molt disperses. Per descriure adequadament una variable quantitativa, qualsevol índex de tendència central ha d'anar acompanyat d'una mesura de dispersió que quantifiqui la variabilitat de les observacions respecte d'aquest valor central (vegeu «Mesures de tendència central i puntuacions diferencials»).

Mitjana ponderada a) Mitjana aritmètica b) Desviació típica c) Mediana d) 1 a) La variància b) La mitjana mostral c) 0 d) Es declara bimodal a) Es descarten ambdós b) Es pren el més alt c) Es calcula la mitjana dels dos d) Mitjana de les medianes a) Suma de percentils b) Mitjana ponderada c) Mitjana simple de mitjanes d) Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 23 Mesures absolutes de dispersió Les mesures absolutes expressen la variabilitat en funció de l'escala de la variable o de transformacions directes d'aquesta escala. DEFINICIÓ El rang, recorregut o amplitud és la diferència entre el valor màxim i el mínim observats en la distribució.

Tot i la seva facilitat de càlcul, el rang només utilitza dues observacions extremes i ignora com es distribueixen les dades intermèdies. Per avaluar la proximitat global respecte del centre, s'analitzen les diferències entre cada dada i la mitjana aritmètica, anomenades puntuacions diferencials o desviacions ( ). Com que la suma de les desviacions respecte de la mitjana és sempre igual a zero, cal neutralitzar els signes negatius per poder calcular un terme mitjà de dispersió: Desviació mitjana: calcula la mitjana ignorant el signe de les desviacions (prenent el valor absolut de cadascuna). Variància: mitjana dels quadrats de les desviacions respecte de la mitjana.

S'indica com a per a paràmetres poblacionals i com a per a estadístics mostrals. La fórmula de càlcul de la variància a partir de dades agrupades amb freqüències és: Quan es calcula la variància d'una mostra amb finalitat inferencial, s'ajusta el denominador dividint entre en comptes de per corregir el biaix. DEFINICIÓ La desviació típica o desviació estàndard ( o ) és l'arrel quadrada positiva de la variància. La variància té la dificultat interpretativa de quedar expressada en unitats al quadrat respecte a les observacions originals (per exemple, anys al quadrat).

En canvi, la desviació típica recupera les mateixes unitats de mesura de la variable original, fet que facilita la interpretació clínica o educativa de la variabilitat. Si totes les puntuacions fossin idèntiques, tant la variància com la desviació típica valdrien exactament zero. X i X ˉ σ2 S2 S = 2 n X n i 2 i X ˉ2 n 1 n S σ Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 24 ESQUEMA Mesures de dispersió o variació COMPROVA-HO 43 Per què no es pot emprar la mitjana directa de les desviacions (sense valor absolut ni quadrats) per mesurar la dispersió?

Càlcul pas a pas de la variància i desviació típica Per obtenir la variància i la desviació típica d'una distribució de freqüències: Mesures absolutes Depenen de l'escala de mesura original Rang o recorregut Diferència entre el màxim i el mínim Desviació mitjana Mitjana dels valors absoluts de les desviacions Variància (S² o σ²) Mitjana de les desviacions al quadrat Desviació típica (S o σ) Arrel quadrada positiva de la variància Mesures relatives Índexs adimensionals per comparar Coeficient de variació (CV) Quocient entre desviació típica i mitjana Calcular la mitjana aritmètica del conjunt: . 1 = X ˉ n X n i i Elevar cada valor observat al quadrat ( ).

2 X i 2 Multiplicar cada quadrat per la seva freqüència absoluta ( ) i obtenir el sumatori de tota la columna. 3 X i 2 n i Dividir el sumatori anterior pel nombre total de casos ( ) i restar el quadrat de la mitjana ( ) per obtenir la variància ( ). 4 n X ˉ2 S2 Calcular l'arrel quadrada del resultat anterior per determinar la desviació típica ( ). 5 S = S2 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 25 EXEMPLE Donada la següent distribució de freqüències de subjectes: 5 3 15 25 75 7 2 14 49 98 10 4 40 100 400 11 1 11 121 121 15 5 75 225 1125 Total 15 155 — 1819 Primer es determina la mitjana: .

A continuació es calcula la variància aplicant la fórmula operativa: Finalment, s'extreu la desviació típica: ERROR FREQÜENT Un error molt habitual a l'examen consisteix a calcular la mitjana dels valors sense ponderar per la seva freqüència , o oblidar elevar al quadrat la mitjana ( ) abans de restar-la del terme . Recorda sempre comprovar que has multiplicat cada quadrat per la seva corresponent abans de sumar. Mesura relativa de dispersió i representativitat de la mitjana La desviació típica depèn directament de la magnitud de les dades i de les unitats de mesura emprades.

Per comparar la dispersió entre grups que tenen mitjanes molt allunyades, o entre variables avaluades en diferents unitats, es fa servir una mesura adimensional: el coeficient de variació. DEFINICIÓ El coeficient de variació (CV) és la raó entre la desviació típica i el valor absolut de la mitjana aritmètica: El coeficient de variació aporta informació clau sobre l'homogeneïtat del grup: Toma valors habitualment entre 0 i 1 (o expressat en percentatge multiplicant per 100).

n = 15 X i n i X i n i X i 2 X i 2 n i = X ˉ = 15 155 10,33 S = 2 15 1819 (10,33) = 2 121,27 106,71 = 14,56 S = = 14,56 3,82 X i n i X ˉ2 n X n i 2 i n i CV = X ˉ S Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 26 Un valor proper a 0 indica baixa dispersió i una mostra molt compacta al voltant del valor central. A mesura que s'apropa a 1 (o el supera), reflecteix una dispersió elevada i heterogènia. Si el coeficient de variació supera el llindar del 30% (0,30), es considera que la mitjana aritmètica és poc representativa del conjunt de la distribució per culpa de l'excessiva variabilitat.

Grup / Variable Mitjana ( ) Desviació típica ( ) Coeficient de variació ( ) Representativitat de la mitjana Grup A 42 3,1 (7%) Molt representativa ( ) Grup B 46 2,2 (4%) Molt representativa ( ) En aquesta comparació, totes dues mitjanes són representatives en situar-se clarament per sota del llindar del 30%. No obstant això, el Grup B presenta menys variabilitat relativa i, per tant, la seva mitjana és més representativa que la del Grup A, ja que el seu coeficient de variació és més proper a 0. COMPROVA-HO 44 Si una mostra té una mitjana de 23 i una desviació típica de 3,2, és representativa la mitjana aritmètica?

IDEES CLAU Les mesures de dispersió són el complement imprescindible de les mesures de tendència central per conèixer el grau d'agrupació de les dades. El rang és la mesura més simple i reflecteix la diferència directa entre el valor més gran i el més petit de la mostra. La variància calcula la mitjana dels quadrats de les desviacions respecte de la mitjana, però s'expressa en unitats al quadrat. La desviació típica és l'arrel quadrada positiva de la variància i manté la mateixa unitat de mesura de la variable original. El coeficient de variació permet comparar mostres amb diferents mitjanes o unitats; quan supera el 30% (0,30), la mitjana perd representativitat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 45.

En quines unitats de mesura s'expressen la variància i la desviació típica respecte a la variable original? 46. Quin criteri numèric s'utilitza a partir del coeficient de variació per establir que una mitjana aritmètica és poc representativa? X ˉ S CV = 42 3,1 0,07 CV < 0,30 = 46 2,2 0,04 CV < 0,30 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 27 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 47. Quina mesura de dispersió s'expressa en les mateixes unitats que la variable original? 48. A partir de quin valor del coeficient de variació es considera la mitjana poc representativa? 49.

Quina propietat tenen les desviacions respecte a la mitjana aritmètica abans d'elevar-les al quadrat? 50. Quin és el principal motiu per emprar el coeficient de variació? 6 Fonaments d'inferència, associació bivariable i proves estadístiques EN ACABAR SABRÀS Diferenciar els supòsits d'aplicació de l'estadística paramètrica i de la no paramètrica. Formular hipòtesis estadístiques i aplicar la regla de decisió basada en el llindar p < 0,05. Calcular i interpretar la covariància i els coeficients de correlació de Pearson i Spearman. Avaluar taules de contingència mitjançant la prova de Khi-quadrat i el Coeficient de Contingència.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 51 Com sabem si dues variables estan associades quan no es poden expressar amb nombres com ara l'alçada o l'edat, sinó amb categories? L'anàlisi de dades permet anar més enllà de la simple descripció d'un conjunt observat per extreure conclusions aplicables a col·lectius més amplis.

En l'àmbit de la psicologia i les ciències del comportament, aquest procés requereix seleccionar les eines adequades per avaluar com es vinculen La covariància a) La desviació típica b) El coeficient de variació c) La variància d) Superior a 0,30 a) Superior a 0,05 b) Superior a 0,50 c) Superior a 0,10 d) La seva suma sempre dona zero a) Són sempre totes positives b) Depenen del coeficient de variació c) Són iguals al rang mostral d) Comparar grups amb diferents mitjanes o unitats a) Calcular la mediana de les desviacions b) Substituir la desviació estàndard poblacional c) Eliminar els valors atípics de la mostra d) Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 28 dues variables segons la seva naturalesa.

ESQUEMA Classificació de proves bivariables segons el tipus de dades Fonaments de la inferència estadística i presa de decisions La inferència estadística permet deduir propietats d'una població a partir de la informació recollida en una mostra (vegeu «Introducció a l'estadística, conceptes bàsics i escales de mesura»). A diferència de l'estadística descriptiva, que únicament organitza i caracteritza dades conegudes, la inferència gestiona la incertesa per generalitzar tendències, contrastar diferències entre grups o predir el valor d'una variable a partir d'una altra.

El procediment clau d'aquest enfocament és el contrast d'hipòtesis bivariable, on es confronten dues proposicions formals: Hipòtesi nul·la ( ): postula l'absència d'associació, diferència o efecte entre les variables estudiades. Hipòtesi alternativa ( ): planteja l'existència real d'un vincle, relació o divergència sistemàtica. La presa de decisions es recolza en la significació estadística mitjançant el p-valor (o Sig. en programari estadístic). Aquest valor representa la probabilitat d'obtenir els resultats mostrals observats si la hipòtesi nul·la fos veritable.

Seguint el criteri estàndard en recerca, es rebutja quan , concloent que la relació entre variables és estadísticament significativa. COMPROVA-HO 52 Quina decisió s'ha de prendre respecte a la hipòtesi nul·la si una prova d'associació obté una significació p = 0,028? Elecció metodològica: estadística paramètrica i no paramètrica Abans d'escollir un coeficient o una prova d'associació, cal determinar si les dades compleixen els supòsits necessaris per a les tècniques clàssiques. La distinció entre mètodes paramètrics i no paramètrics garanteix la validesa de les conclusions obtingudes.

Tècniques paramètriques Quantitatives, normalitat i N 30 Correlació de Pearson Relació lineal entre quantitatives (r) Tècniques no paramètriques Ordinals, nominals o sense normalitat Correlació de Spearman Associació d'ordres o rangs (rs) Taules de contingència Khi-quadrat i coeficient C H 0 H 1 H 0 p < 0,05 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 29 Criteri Estadística paramètrica Estadística no paramètrica Nivell de mesura Variables quantitatives (escala d'interval o raó) Variables qualitatives (nominals o ordinals) Forma de la distribució Requereix normalitat a la població de referència Lliure de distribució (distribucions desconegudes o asimètriques) Variabilitat interna Exigeix homogeneïtat de variàncies (homocedasticitat) No requereix supòsits sobre la variància Mida mostral habitual Mostres grans ( ) Aplicable a mostres petites ( ) Valors perduts No els considera com a font informativa Pot incorporar patrons de valors perduts com a informació Si es treballa amb variables quantitatives però s'incompleix la normalitat o la mostra és reduïda, s'han d'emprar alternatives no paramètriques per evitar conclusions errònies.

ERROR FREQÜENT Un error habitual consisteix a aplicar el coeficient de Pearson a dues variables quantitatives sense comprovar abans la distribució normal o la presència d'una mostra suficient ( ). Si alguna variable no segueix una distribució normal, cal recórrer immediatament a mètodes basats en rangs com el coeficient de Spearman, encara que les dues s'hagin mesurat numèricament. En cas contrari, la correlació resultant quedarà distorsionada. COMPROVA-HO 53 Quin procediment s'ha de triar per analitzar dues variables numèriques en un estudi de 15 subjectes que no presenten distribució normal?

Associació lineal entre variables quantitatives: covariància i Pearson Quan s'examinen dues variables quantitatives que compleixen els requisits paramètrics, el primer pas consisteix a calcular la covariància ( ). Aquesta mesura quantifica el sentit de la variació conjunta de les dades respecte a les seves mitjanes (vegeu «Mesures de tendència central i puntuacions diferencials»): El signe de la covariància indica la direcció de la relació: Positiva: associació directa; quan una variable augmenta de valor, l'altra també tendeix a augmentar. Negativa: associació inversa; en augmentar una variable, l'altra experimenta una disminució.

Aproximada a zero: absència de patró lineal compartit entre ambdues variables. N 30 N < 30 N 30 S XY S = XY n X Y i i X ˉY ˉ Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 30 Com que la covariància depèn directament de les unitats d'escala emprades i pot prendre qualsevol valor entre i , cal estandarditzar-la. El coeficient de correlació lineal de Pearson ( ) resol aquesta limitació dividint la covariància pel producte de les desviacions típiques (vegeu «Mesures de dispersió o variació i representativitat de la mitjana»): Aquest índex té propietats essencials per a la interpretació: El seu rang està acotat estrictament: -1 r +1. : relació lineal positiva o directa perfecta.

: relació lineal negativa o inversa perfecta. : absència total d'associació lineal. EXEMPLE Suposem que es vol contrastar la relació entre les hores d'estudi setmanals ( ) i la nota de l'examen ( ). Si obtenim amb i , el càlcul del coeficient resulta: Aquest valor reflecteix una forta associació lineal directa: un nombre més alt d'hores d'estudi s'acompanya de puntuacions superiors a la prova. COMPROVA-HO 54 Per què no n'hi ha prou amb la covariància per comparar la intensitat de dues relacions bivariables diferents?

Associació no paramètrica mitjançant rangs: correlació de Spearman Quan almenys una de les dues variables està mesurada en escala ordinal, o quan tractant-se d'escales d'interval o raó no es verifica el supòsit de normalitat, s'utilitza el coeficient de correlació de Spearman ( ). Aquest mètode també és adient si una variable és ordinal i l'altra quantitativa, analitzant ambdues com a ordinals. L'estratègia de càlcul consisteix a transformar els valors originals en rangs d'ordre: Igual que el coeficient de Pearson, oscil·la entre -1 i +1.

Un valor de +1 reflecteix una perfecta concordança en l'ordre dels rangs, un valor de -1 una concordança inversa perfecta i un valor proper a 0 una independència completa de les ordenacions. + r XY r = XY S S X Y S XY r = +1 r = 1 r = 0 X Y S = XY 4,5 S = X 2 S = Y 2,5 r = = 2 2,5 4,5 = 5 4,5 +0,90 r s S'assigna el valor 1 a la puntuació més baixa de cada variable, el 2 a la següent, i així successivament fins al màxim de la distribució. 1 Es determinen les diferències d'ordre ( ) per a cada subjecte.

2 O X O Y S'aplica la fórmula de càlcul sobre aquests rangs: 3 r = s 1 N(N 1) 2 6 (O O ) X Y 2 r s Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 31 Associació entre variables qualitatives: taules de contingència i Khi-quadrat En el cas d'atributs mesurats en escala nominal, no és possible ordenar categories ni emprar rangs. L'estudi de relació requereix l'anàlisi de freqüències creuades mitjançant taules de contingència.

L'anàlisi compara les freqüències observades a la mostra ( ) amb les freqüències esperades teòriques ( ), definides com el nombre de casos que s'haurien d'observar si les variables fossin estrictament independents: On és el total marginal de la fila , és el total de la columna i és la grandària mostral global. La discrepància entre els valors observats i els esperats es mesura amb la prova de Khi-quadrat de Pearson ( ): Per determinar la magnitud d'aquesta associació, es calcula el Coeficient de Contingència ( ): Aquest índex compleix les següents propietats: Si hi ha independència completa, , de manera que i C = 0.

Com més s'allunya el valor de zero, més intensa és la dependència o associació entre les variables. El valor de mai no pot ser superior a 1. Cal recordar que el valor d'aquest índex s'ha d'acompanyar de la significació estadística en la sortida del programari: només es conclourà que hi ha associació real si . COMPROVA-HO 55 Què passa amb el valor de Khi-quadrat i del Coeficient de Contingència si totes les freqüències observades coincideixen amb les esperades?

n ij m ij m = ij N n n i j n i i n j j N χ2 χ = 2 m ij (n m ) ij ij 2 C C = χ + N 2 χ2 n = ij m ij χ = 2 0 C p < 0,05 Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 32 IDEES CLAU La inferència estadística permet generalitzar patrons mostrals a la població, contrastant la hipòtesi nul·la ( ) enfront de l'alternativa ( ). La regla de decisió universal estableix que es rebutja i s'obté significació estadística quan el p-valor és inferior a 0,05. L'estadística paramètrica requereix normalitat, homogeneïtat de variàncies i escales d'interval o raó, generalment amb mostres grans ( ).

La covariància ( ) indica el sentit de la variació lineal, mentre que el coeficient de Pearson ( ) estandarditza la força de l'associació entre -1 i +1. La correlació de Spearman ( ) avalua la relació mitjançant rangs d'ordre quan les dades són ordinals o manquen de distribució normal. Les taules de contingència, la prova de Khi-quadrat ( ) i el Coeficient de Contingència ( ) permeten quantificar l'associació entre variables nominals. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 56. En quines circumstàncies s'ha d'utilitzar el coeficient de correlació de Spearman en lloc del de Pearson? 57. Quina diferència conceptual existeix entre la covariància i el coeficient de correlació de Pearson? 58.

Com s'obté la freqüència esperada en una casella d'una taula de contingència? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 59. Quina condició justifica l'ús d'estadística paramètrica per analitzar dades? 60. Quin valor pren el coeficient de Pearson quan existeix una relació inversa perfecta? 61. Quin càlcul previ requereix el coeficient de Spearman abans d'aplicar la seva fórmula? 62. Què reflecteix un Coeficient de Contingència de C = 0 en una taula?

H 0 H 1 H 0 N 30 S XY r r s χ2 C Variables ordinals amb categories a) Variables qualitatives nominals b) Distribució normal i escala d'interval c) Mostres inferiors a 15 subjectes d) 0 a) +1 b) -1 c) Infinit negatiu d) Calcular la freqüència esperada a) Eliminar els valors atípics b) Transformar les puntuacions en rangs c) Normalitzar les variàncies mostrals d) Significació estadística forta a) Correlació negativa perfecta b) Independència completa entre variables c) Error en les dades observades d) Apunts d'Anàlisi de Dades en Psicologia I: Teoria i SPSS 33 7 Gestió de dades i anàlisi descriptiva amb SPSS EN ACABAR SABRÀS Configurar correctament els atributs psicomètrics i de format a la Vista de variables d'SPSS Gestionar la matriu de dades aplicant insercions, ordenacions i filtres condicionals de casos Distingir les funcions i sortides dels procediments estadístics Frecuencias i Descriptivos Obtenir puntuacions estandarditzades Z directament com a noves variables a la matriu PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 63 Per què no és aconsellable utilitzar el mateix procediment d'anàlisi descriptiva per a una variable nominal que per a una variable d'escala contínua a SPSS?

L'entorn de treball d'SPSS: Vista de dades i Vista de variables El programa estadístic SPSS estructura la informació mitjançant una matriu bidimensional de dimensions . En aquesta disposició, la finestra Vista de dades allotja els casos a les files i les variables a les columnes. Cada fila correspon a un participant o unitat mostral, mentre que cada columna representa un atribut mesurat. A la part inferior esquerra de la interfície es troba la pestanya alternativa, la Vista de variables. En aquest espai es configuren les característiques tècniques i psicomètriques de cada variable.

Abans d'introduir dades empíriques, cal establir aquests paràmetres per assegurar un tractament estadístic correcte. Per definir cada variable, SPSS disposa d'un conjunt d'atributs ordenats en columnes: Nom (Nombre): identificador formal. Ha de començar obligatòriament per una lletra, no pot acabar en punt, no admet espais en blanc ni símbols especials (!, ?, etc.), no distingeix majúscules de minúscules i no pot coincidir amb paraules reservades del sistema (com ara ALL, AND, BY, EQ, GE, GT, LE, LT, NE, NOT, OR, TO, WITH). Tipus (Tipo): defineix la codificació interna.

Les opcions habituals són Numèrica (per a mesures quantitatives o codis numèrics) i Cadena (per a text alfanumèric o variables qualitatives sense codificar). Amplada (Anchura) i Decimals: determinen la…