Problema 1 - Camp i potencial d'esferes concèntri… · Física II UB 2023

a. Indiqueu de quina manera es distribueixen les càrregues elèctriques tant a l'esfera central com a la closca esfèrica, i feu un esquema de les línies de camp elèctric corresponents.

Solución: Com que es tracta de conductors en equilibri electrostàtic: - A la superfície exterior de l'esfera interior ($r = a$): càrrega $Q_1$. - A la cara interior de la closca ($r = b$): càrrega induïda $-Q_1$. - A la cara exterior de la closca ($r = c$): càrrega $Q_1 + Q_2$. Línies de camp: s'inicien a $r = a$, acaben a $r = b$ i tornen a sorgir radialment cap a l'exterior des de $r = c$.

b. Calculeu el camp elèctric a totes les regions de l'espai mitjançant el teorema de Gauss i dibuixeu de forma qualitativa el mòdul E en funció de la distància radial r.

Solución: - Regió $r < a$: $\vec{E} = 0$ - Regió $a < r < b$: $\vec{E} = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \vec{u}_r$ - Regió $b < r < c$: $\vec{E} = 0$ - Regió $r > c$: $\vec{E} = \frac{Q_1 + Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \vec{u}_r$

c. Prenent el conveni de potencial nul a l'infinit, determineu l'expressió del potencial elèctric tant a l'escorça com a l'esfera conductora.

Solución: $$V(c) = \frac{Q_1 + Q_2}{4\pi\varepsilon_0 c}$$ $$V(a) = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) + \frac{Q_1 + Q_2}{4\pi\varepsilon_0 c}$$

Esquemes gràfics: línies de camp elèctric i gràfica E(r)

Solución: a. Esquema de línies de camp: Línies radials sortint de la superfície de l'esfera de radi $a$ i arribant perpendicularment a la cara interior de la closca a radi $b$. A l'interior dels conductors no hi ha línies de camp. Des de la superfície exterior $r=c$, tornen a sortir línies de camp radials cap a l'infinit. b. Gràfic E(r): Gràfica de $E$ enfront de $r$ que val 0 per a $r \in [0, a)$, presenta un salt vertical discontinu a $r=a$, segueix una hipèrbola decreixent tipus $1/r^2$ en $(a, b)$, torna a caure a 0 en $[b, c)$, i a $r=c$ té un altre salt vertical decreixent asimptòticament cap a 0 per a $r > c$.