Problema 1 · Física II UB Juny 2022

a. Determineu les densitats superficials de càrrega existents a les superfícies esfèriques de radis $a$, $b$ i $c$.

Solución: $\sigma_a = \frac{Q_1}{4\pi a^2}$, $\sigma_b = -\frac{Q_1}{4\pi b^2}$, $\sigma_c = \frac{Q_1}{4\pi c^2}$

b. Fent ús del teorema de Gauss, deduïu el camp elèctric a totes les regions de l'espai ($r < a$, $a < r < b$, $b < r < c$ i $r > c$) i representeu gràficament la funció $E(r)$.

Solución: $E(r < a) = 0$; $E(a < r < b) = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$; $E(b < r < c) = 0$; $E(r > c) = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}$

c. Calculeu el potencial elèctric $V(r)$ en totes les zones de l'espai considerant l'origen de potencials a l'infinit ($V(\infty) = 0$), i dibuixeu el seu perfil gràfic. En particular, indiqueu quins són els valors constants del potencial a l'esfera interior i a l'escorça conductora.

Solución: $V(r > c) = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 r}$; $V_{\text{escorça}} = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 c}$; $V(a < r < b) = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$; $V_{\text{esfera}} = \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$

d. Es connecta posteriorment l'escorça conductora a una font que li diposita una càrrega $Q_2 > 0$ i immediatament després es desconnecta. Sabent que el nou potencial de l'esfera interior augmenta en una quantitat $\Delta V = \frac{Q_1}{\pi\varepsilon_0 c}$, calculeu el valor de la càrrega transferida $Q_2$ en funció de $Q_1$.

Solución: $4 Q_1$

Dibuixos i representacions gràfiques de E(r) i V(r)

Solución: Gràfica E(r): E(r) val 0 per a $0 \le r < a$; té un salt discontinu a $r = a$ pujant fins a $\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$ i decau com $1/r^2$ fins a $r = b$; val 0 per a $b < r < c$; i a $r = c$ puja discontínuament fins a $\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0 c^2}$ decaient com $1/r^2$ cap a 0 quan $r \to \infty$. Perfil gràfic V(r): V(r) és continu a tot arreu. És constant i pla amb valor $V_{\text{esfera}}$ a l'interval $0 \le r \le a$; decau de forma hiperbòlica entre $r = a$ i $r = b$; és constant i pla amb valor $V_{\text{escorça}}$ a l'interval $b \le r \le c$; i decau com $1/r$ cap a 0 per a $r > c$.