Problema P1 · Física II UB 2017

a. Trobeu l'expressió del camp elèctric a tot l'espai i feu un gràfic que representi el seu mòdul E segons la distància radial r al centre.

Solución: $E(r) = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ per a $r \le a$; $E(r) = \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ per a $r \ge a$.

b. Ara s'envolta l'esfera inicial amb una escorça conductora concèntrica, de radis interior b i exterior c (a < b < c), que es troba descarregada. Deduïu de nou el camp elèctric a totes les regions de l'espai i representeu gràficament la dependència de E(r).

Solución: $E(r) = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ ($0 \le r \le a$); $E(r) = \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ ($a \le r < b$); $E(r) = 0$ ($b \le r \le c$); $E(r) = \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 r^2}$ ($r > c$).

c. Determineu el potencial elèctric tant a la superfície de l'esfera com a l'escorça esfèrica conductora (prenent com a referència V(∞) = 0).

Solución: $V(c) = \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 c}$; $V(a) = \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$.

Gràfics de E(r) demanats als apartats a i b

Solución: Gràfic apartat a: Eix d'abscisses $r$ i d'ordenades $E$. Corba que comença a $(0,0)$, creix linealment fins a $(a, \frac{\rho a}{3\varepsilon_0})$ i decreix asimptòticament cap a zero com a $1/r^2$ per a $r > a$. Gràfic apartat b: Idèntic al gràfic de l'apartat a des de $r=0$ fins a $r=b$, caiguda discontínua a zero a $r=b$ mantenint-se $E=0$ en tot l'interval $[b, c]$, i salt discontinu a $r=c$ fins al valor $\frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 c^2}$, decreixent com a $1/r^2$ per a $r > c$.