Ejercicio Q2 · Fundamentos de Ondas, Fluidos y Termodinámica UB 2018

Q2 (4 punts). Conducció tèrmica en bifurcació de barres

Considerem tres barres cilíndriques de metall amb idèntica longitud $L$ i mateixa àrea de secció recta $S$, connectades entre dos focus tèrmics com es descriu a continuació:

Des de l'extrem esquerre, mantingut a temperatura $T_1$, surt una barra feta del material $A$ que arriba fins a una unió intermèdia a temperatura $T_x$.

En aquest punt $T_x$ la unió es bifurca en dues barres connectades en paral·lel fins a l'extrem dret, mantingut a temperatura $T_2$: una barra superior del material $B$ i una barra inferior del material $A$.

Les conductivitats tèrmiques respectives són $\kappa_A$ i $\kappa_B = \alpha \cdot \kappa_A$ (ambdues independents de la temperatura, sent $\alpha$ una constant adimensional). Les superfícies laterals de les barres estan completament aïllades, de manera que el flux és exclusivament longitudinal.

Indicació: Podeu resoldre el problema establint l'analogia de resistències tèrmiques del circuit equivalent.

a)

Deduïu l'expressió analítica de la temperatura en el nus de connexió, $T_x$, en funció de $T_1$, $T_2$ i del paràmetre $\alpha$.

b)

Fixats els valors $T_1 = 0\ ^\circ\text{C}$ i $T_2 = 80\ ^\circ\text{C}$, trobeu el valor numèric de $T_x$ en els tres supòsits següents:

• Si $\alpha \to 0$: $T_x =$ $^\circ\text{C}$

• Si $\alpha = 1$: $T_x =$ $^\circ\text{C}$

• Si $\alpha \to \infty$: $T_x =$ $^\circ\text{C}$