Examen de Fundamentos de Ondas, Fluidos y Termodinámica UB 2018 · Parcial II (Abril 2018)

Context

Convocatòria: Prova II — 27 d'abril de 2018.

Puntuació total: 10 punts.

Constants físiques útils:

$1\text{ cal} = 4{,}186\text{ J}$

$1\text{ atm} = 101\,325\text{ Pa}$

$R = 8{,}314\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K})$

$N_A = 6{,}022\times 10^{23}\text{ mol}^{-1}$

$k_B = 1{,}38\times 10^{-23}\text{ J}/\text{K}$

$\sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\text{ W}/(\text{m}^2\cdot\text{K}^4)$

Q1 (4 punts). Radiació tèrmica de dues esferes

A l'interior d'una cambra en la qual s'ha fet el buit es disposen dues esferes aïllades de l'exterior: l'esfera $A$, de radi $R$, que es comporta com un cos negre ideal, i l'esfera $B$, de radi $2R$, la superfície de la qual presenta una emissivitat de $e = 0{,}75$. El conjunt assoleix l'equilibri tèrmic a una temperatura comuna $T$.

a)

Quin dels dos cossos allibera més quantitat d'energia per unitat de temps (J/s)? Trobeu el quocient entre les taxes d'emissió energètica de totes dues esferes ($I_A/I_B$).

Esfera A

Esfera B

b)

Suposant que $R = 1\text{ cm}$ i que la temperatura del sistema és $T = 400\text{ }^{\circ}\text{C}$, avalueu numèricament la potència radiada per cadascuna de les esferes.

c)

En cas que la temperatura s'elevi fins a assolir $T' = 800\text{ }^{\circ}\text{C}$, quin factor de canvi experimentarà la potència que emet l'esfera $B$ respecte al valor de l'apartat anterior?

d)

Sota aquest mateix escalfament a $T'$, com es veurà modificada la longitud d'ona corresponent al màxim d'emissió de l'esfera $A$?

Q2 (4 punts). Conducció tèrmica en bifurcació de barres

Considerem tres barres cilíndriques de metall amb idèntica longitud $L$ i mateixa àrea de secció recta $S$, connectades entre dos focus tèrmics com es descriu a continuació:

Des de l'extrem esquerre, mantingut a temperatura $T_1$, surt una barra feta del material $A$ que arriba fins a una unió intermèdia a temperatura $T_x$.

En aquest punt $T_x$ la unió es bifurca en dues barres connectades en paral·lel fins a l'extrem dret, mantingut a temperatura $T_2$: una barra superior del material $B$ i una barra inferior del material $A$.

Les conductivitats tèrmiques respectives són $\kappa_A$ i $\kappa_B = \alpha \cdot \kappa_A$ (ambdues independents de la temperatura, sent $\alpha$ una constant adimensional). Les superfícies laterals de les barres estan completament aïllades, de manera que el flux és exclusivament longitudinal.

Indicació: Podeu resoldre el problema establint l'analogia de resistències tèrmiques del circuit equivalent.

a)

Deduïu l'expressió analítica de la temperatura en el nus de connexió, $T_x$, en funció de $T_1$, $T_2$ i del paràmetre $\alpha$.

b)

Fixats els valors $T_1 = 0\ ^\circ\text{C}$ i $T_2 = 80\ ^\circ\text{C}$, trobeu el valor numèric de $T_x$ en els tres supòsits següents:

• Si $\alpha \to 0$: $T_x =$ $^\circ\text{C}$

• Si $\alpha = 1$: $T_x =$ $^\circ\text{C}$

• Si $\alpha \to \infty$: $T_x =$ $^\circ\text{C}$

Context

Convocatòria: Prova II — 27 d'abril de 2018.

Puntuació total: 10 punts.

Constants físiques útils:

$1\text{ cal} = 4{,}186\text{ J}$

$1\text{ atm} = 101\,325\text{ Pa}$

$R = 8{,}314\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K})$

$N_A = 6{,}022\times 10^{23}\text{ mol}^{-1}$

$k_B = 1{,}38\times 10^{-23}\text{ J}/\text{K}$

$\sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\text{ W}/(\text{m}^2\cdot\text{K}^4)$

Q3 (2 punts). Fusió de gel per conducció tèrmica

Reprenent la configuració del problema anterior, suposem que a l'extrem esquerre hi ha una massa de gel en equilibri a $T_1 = 0\ ^\circ\text{C}$. Es demana determinar quants grams de gel s'arribaran a fondre al cap d'un interval de temps $\tau = 10\text{ min}$ a causa del corrent tèrmic transmès per la xarxa de barres.

Dades:

$T_2 = 80\ ^\circ\text{C}$

Longitud de cada barra: $L = 4\text{ cm}$

Secció recta de cada barra: $S = 1\text{ cm}^2$

Conductivitat del metall $A$: $\kappa_A = 400\text{ W}/(\text{m}\cdot\text{K})$

Paràmetre de conductivitat: $\alpha = 0{,}5$

Calor latent de fusió del gel: $L_f = 80\text{ cal}/\text{g}$