Examen de Fundamentos de Electromagnetismo y Óptica UB 2023 · Juny

Qüestió 1. Pèndols electrostàtics en equilibri

Dues esferes petites de massa $m$ i càrrega idèntica $q$ pengen de dos fils aïllants de longitud $L$. En arribar a la posició d'equilibri, cada fil forma un angle $\theta$ respecte a la vertical.

Indiqueu quina de les asseveracions següents és falsa:

Qüestió 2. Flux del camp electrostàtic

El flux del vector camp electrostàtic $\vec{E}$ a través de qualsevol superfície tancada:

.

Qüestió 3. Energia cinètica de càrregues en expansió

Tres càrregues puntuals positives de magnituds $q$, $2q$ i $4q$ estan situades inicialment als vèrtexs d'un triangle equilàter de costat $a$. Si s'alliberen des del repòs i es dispersen a causa de la repulsió electrostàtica mútua, quina energia cinètica total tindrà el sistema en arribar a una separació infinita?

.

Qüestió 4. Energia d'un condensador pla aïllat

Un condensador pla està constituït per dues armadures d'àrea $S$ separades per una distància petita $d$. Es carrega amb una càrrega $Q$, assolint una energia electrostàtica emmagatzemada $U$. Si es desconnecta de qualsevol font (quedant aïllat elèctricament) i s'augmenta la distància entre les plaques fins a $3d$, quina serà la seva nova energia?

.

Qüestió 5. Càrrega en condensadors amb interruptor obert

En el circuit que es mostra a la figura següent, es manté l'interruptor obert. Trobeu la càrrega acumulada en règim estacionari en els condensadors d'1 $\mu\text{F}$ i de 2 $\mu\text{F}$, respectivament.

Qüestió 6. Potència dissipada en associacions de resistències

Es connecta una diferència de potencial constant $V$ a quatre configuracions diferents integrades cadascuna per quatre resistències idèntiques de valor $R$:

Configuració (A): Tres en paral·lel, associades en sèrie amb una quarta.

Configuració (B): Dues en paral·lel, en sèrie amb dues en sèrie.

Configuració (C): Dues en paral·lel, connectades en sèrie amb dues en paral·lel.

Configuració (D): Dues en paral·lel i una en sèrie; tot aquest conjunt en paral·lel amb la quarta resistència.

Quin és l'ordre decreixent correcte de la potència total que es dissipa en cadascun dels quatre casos?

Qüestió 7. Trajectòria d'una càrrega entre corrents paral·lels

Una càrrega puntual positiva $q > 0$ es troba a la meitat de la distància entre dos conductors rectilinis indefinits i paral·lels que porten corrents estacionaris $I_1$ i $I_2$. La partícula es llança verticalment cap amunt amb velocitat $\vec{v}$ (en el mateix pla dels fils), segons s'indica a la figura.

Quina de les afirmacions següents és certa?

Qüestió 8. Flux magnètic a través d'una superfície cúbica

Un fil conductor indefinit transporta un corrent d'intensitat $I$ en sentit vertical ascendent. Considerem una superfície cúbica d'aresta $a$ que és travessada pel fil conductor perpendicularment a través del centre de dues cares oposades. Quina és l'afirmació correcta respecte al flux del camp magnètic, $\Phi$, a través d'aquesta superfície tancada?

9 Qüestió 9. Varetes conductores sobre guies en camp magnètic

En el muntatge conductor representat a la figura, la barra (1) es desplaça inicialment cap a la dreta amb una velocitat constant $\vec{v}_0$ cap a la barra (2), que està inicialment parada. El circuit té una resistència òhmica total $R$, no hi ha fregament i hi ha aplicat un camp magnètic uniforme $\vec{B}$ perpendicular al pla i dirigit cap a dins.

Indiqueu quina de les afirmacions següents és falsa:

Qüestió 10. Corrent induït en una espira en moviment

Una espira conductora rectangular es desplaça amb velocitat constant $\vec{v}$ travessant una regió delimitada on existeix un camp magnètic uniforme dirigit cap a l'exterior del pla ($\vec{B} \odot$), tal com indiquen les tres etapes temporals $t_1, t_2, t_3$.

Quina de les afirmacions següents descriu correctament el sentit del corrent induït?

Qüestió 11. Diagrama fasorial en un circuit RLC sèrie

La figura mostra el diagrama de fasors per a la intensitat i les tensions en un circuit constituït per una resistència, una autoinducció i un condensador associats en sèrie amb un generador de corrent altern. Si el fasor $I_0$ sobre l'eix real positiu representa la intensitat a través de la resistència, quin dels vectors assenyalats correspon a la tensió total del generador?

Qüestió 12. Variació de freqüència en circuit RL sèrie

En un circuit de corrent altern format per una resistència i una bobina pura en sèrie, la intensitat es troba endarrerida respecte de la tensió. Si es duplica la freqüència de la tensió aplicada mantenint el seu valor eficaç constant:

Qüestió 13. Tensions en impedàncies en sèrie

Un circuit de corrent altern consta de dues impedàncies connectades en sèrie. S'aplica al conjunt una tensió d'alimentació $V(t) = V_0 \cos(\omega t)$. Quina de les afirmacions següents és falsa ?

.

Qüestió 14. Reflexió total interna sota l'aigua

Dos peixos neden a la mateixa profunditat $a$ dins d'un estany d'aigua amb índex de refracció $n$. Entre tots dos hi ha un obstacle (banc d'algues) que bloqueja la línia de visió directa entre ells. Quina és la distància mínima $d$ a la qual s'han de trobar perquè es puguin veure l'un a l'altre mitjançant reflexió total interna a la superfície de l'aigua?

Qüestió 15. Formació d'imatges en mirall esfèric còncau

Considereu un mirall esfèric còncau de centre de curvatura $C$ i focus $F$. Un objecte inclinat s'ubica a l'esquerra del centre de curvatura, recolzat sobre l'eix òptic i amb l'extrem superior orientat cap enrere i amunt. Quina de les fletxes numerades representa la seva imatge conjugada?

Problema 1. Escorça cilíndrica carregada conductora i aïllant

Una escorça cilíndrica de radi interior $a$, radi exterior $b$ i longitud $L$ (on $L \gg b > a$) té una càrrega total positiva $+Q$.

a)

Suposeu que l'escorça és conductora:

1.

Especifiqueu detalladament com es distribueix la càrrega elèctrica i determineu la densitat de càrrega corresponent.

2.

Calculeu el vector camp elèctric $\vec{E}$ a les diferents regions de l'espai.

3.

Dibuixeu un gràfic representant el mòdul del camp elèctric en funció de la distància radial $r$ a l'eix del cilindre.

b)

Suposeu ara que l'escorça és aïllant i que la càrrega $+Q$ es distribueix de forma homogènia en tot el seu volum:

1.

Indiqueu la densitat volumètrica de càrrega.

2.

Trobeu el camp elèctric en cadascuna de les regions de l'espai.

3.

Representeu gràficament el mòdul del camp elèctric en funció de $r$.

c)

Mantenint el model d'escorça aïllant, es col·loca una càrrega puntual $-q$ en el punt de coordenades $(c, 0, 0)$ amb $c > b$:

1.

Determineu el camp elèctric total en un punt $(x_0, 0, 0)$ tal que $x_0 > c$.

2.

Trobeu el mòdul de la càrrega puntual $q$ necessari perquè un electró situat a la posició $(2c, 0, 0)$ romangui en repòs. (Considereu que el pla $z = 0$ talla l'escorça just a la meitat de la seva alçada, $L/2$).

Problema 2 (5 punts). Conductors cilíndrics coaxials i camp magnètic

Un sistema format per dos conductors cilíndrics de longitud $h$ (amb $h \gg 2a$) consta d'un cilindre intern massís de radi $a$ i d'una escorça cilíndrica exterior coaxial de radi intern $\sqrt{2}a$ i radi extern $2a$. Tots dos conductors estan sotmesos a la mateixa diferència de potencial $V$ entre les seves bases respectives. La conductivitat de l'escorça externa és $\gamma_e$.

a. Determineu la resistència $R$ de l'escorça exterior, la intensitat de corrent elèctric $I$ que la travessa i el vector densitat de corrent $\vec{j}$ (suposant una distribució de corrent uniforme).

Problema 2 (5 punts). Conductors cilíndrics coaxials i camp magnètic

Un sistema format per dos conductors cilíndrics de longitud $h$ (amb $h \gg 2a$) consta d'un cilindre intern massís de radi $a$ i d'una escorça cilíndrica exterior coaxial de radi intern $\sqrt{2}a$ i radi extern $2a$. Tots dos conductors estan sotmesos a la mateixa diferència de potencial $V$ entre les seves bases respectives. La conductivitat de l'escorça externa és $\gamma_e$.

b.

Es mesura el mòdul del camp magnètic a la superfície del cilindre interior ($r = a$) i resulta ser $B(a) = \mu_0\gamma_e \frac{a}{h}V$. A partir d'aquesta mesura, deduïu la conductivitat $\gamma$ del conductor intern.

$\gamma =$

c.

Trobeu l'expressió del vector camp magnètic $\vec{B}$ en un punt de radi $r$ exterior al sistema ($r > 2a$).

$B(r) =$

Problema 3. Disseny de lents primes i traçat de raigs

A partir de dues superfícies esfèriques de radis de curvatura de $6\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$, es poden dissenyar quatre tipus diferents de lents primes fetes d'un vidre amb índex de refracció $n = 1{,}6$.

a)

Per a cadascuna de les quatre lents possibles, dibuixeu un esquema qualitatiu, indiqueu el tipus de lent i calculeu el valor de la distància focal $f$ a l'aire.

1. Lent biconvexa ($R_1 = +6\text{ cm}$, $R_2 = -12\text{ cm}$)

2. Lent convexocòncava / menisc convergent ($R_1 = +6\text{ cm}$, $R_2 = +12\text{ cm}$)

3. Lent bicòncava ($R_1 = -6\text{ cm}$, $R_2 = +12\text{ cm}$)

4. Lent concavoconvexa / menisc divergent ($R_1 = +12\text{ cm}$, $R_2 = +6\text{ cm}$)

b)

Per a cadascuna de les lents, calculeu la posició ($s'$) i l'alçada ($y'$) de la imatge que formaria d'un objecte d'$1\text{ cm}$ d'alçada situat a $10\text{ cm}$ a l'esquerra de la lent ($s = -10\text{ cm}$ o distància de $10\text{ cm}$). Indiqueu el traçat de raigs i descriviu les propietats de la imatge obtinguda (real/virtual, dreta/invertida, mida respecte a l'objecte).

1. Lent biconvexa ($f = +6{,}67\text{ cm} = 20/3\text{ cm}$)

2. Lent convexocòncava ($f = +20\text{ cm}$)

3. Lent bicòncava ($f = -6{,}67\text{ cm} = -20/3\text{ cm}$)

4. Lent concavoconvexa ($f = -20\text{ cm}$)