Problema 1 · Fundamentos de Electromagnetismo y Óptica UB Juny 2023

a.1. Especifiqueu detalladament com es distribueix la càrrega elèctrica i determineu la densitat de càrrega corresponent.

Solución: Tota la càrrega $+Q$ es distribueix uniformement a la superfície lateral externa de radi $r = b$, amb densitat superficial $\sigma = \frac{Q}{2\pi b L}$. A la cavitat interior ($r < a$) i a la superfície interior ($r = a$) la densitat és nul·la.

a.2. Calculeu el vector camp elèctric $\vec{E}$ a les diferents regions de l'espai.

Solución: Per a $r < b$: $\vec{E} = \vec{0}$. Per a $r > b$: $\vec{E} = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 L r} \hat{a}_r$.

b.1. Indiqueu la densitat volumètrica de càrrega.

Solución: $\rho = \frac{Q}{\pi (b^2 - a^2) L}$

b.2. Trobeu el camp elèctric en cadascuna de les regions de l'espai.

Solución: Per a $r < a$: $\vec{E} = \vec{0}$. Per a $a \le r \le b$: $\vec{E} = \frac{Q(r^2 - a^2)}{2\pi \varepsilon_0 L (b^2 - a^2) r} \hat{a}_r$. Per a $r > b$: $\vec{E} = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 L r} \hat{a}_r$.

c.1. Determineu el camp elèctric total en un punt $(x_0, 0, 0)$ tal que $x_0 > c$.

Solución: $\vec{E} = \left( \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L x_0} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (x_0 - c)^2} \right) \hat{a}_r = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{L x_0} - \frac{q}{2(x_0 - c)^2} \right] \hat{a}_r$

c.2. Trobeu el mòdul de la càrrega puntual $q$ necessari perquè un electró situat a la posició $(2c, 0, 0)$ romangui en repòs.

Solución: $q = \frac{c}{L} Q$

Gràfics de mòdul de camp elèctric en funció de r (apartats a.3 i b.3):

Solución: a.3. Escorça conductora: El gràfic de $E(r)$ és nul des de $r = 0$ fins a $r = b$, on pateix un salt discontinu fins al valor màxim $E(b^+) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L b}$, i a partir d'allà decau asimptòticament de manera proporcional a $1/r$. b.3. Escorça aïllant: El gràfic de $E(r)$ val $0$ per a $r < a$; creix de forma contínua des de $0$ a $r = a$ fins a assolir el màxim $\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L b}$ a $r = b$; i a partir de $r > b$ decau contínuament com $1/r$.