Examen de Electromagnetismo UB 2017 · Juny

Problema 1. Dues esferes conductores connectades a una bateria i posterior acostament

Es disposa de dues esferes conductores de radis $R_1$ i $R_2 = 2R_1$ que es troben inicialment descarregades i a una distància infinita una de l'altra. Es connecten mitjançant una font de tensió contínua de força electromotriu $\mathcal{E}$, unint el pol positiu a l'esfera de radi $R_1$.

a)

Trobeu la càrrega que adquireix cadascuna de les esferes.

b)

Calculeu el potencial electroestàtic de cada esfera respecte a l'infinit.

c)

Determineu l'energia electroestàtica acumulada pel conjunt dels dos conductors.

d)

Un cop assolida la càrrega, les esferes es desconnecten de la bateria i s'apropen fins a situar-se a una distància entre centres $d \gg R_1$, començant a aparèixer efectes d'influència electroestàtica mútua descrits pels coeficients de potencial:

$$b_{12} = b_{21} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 d}, \quad b_{11} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R_1}, \quad b_{22} = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0 R_1}$$

Quant val en aquesta posició el potencial electroestàtic de cada esfera?

e)

Quina és la nova energia electroestàtica emmagatzemada en el sistema?

f)

Calculeu la força d'interacció existent entre les dues esferes i justifiqueu si té caràcter atractiu o repulsiu.

Problema 2. Resistència i densitat de potència en semi-escorces cilíndriques conductores

Es connecten dues semi-escorces cilíndriques coaxials de longitud $\ell$, de radis interior $a$ i exterior $b$ ($a < b$), i de conductivitats respectives $\gamma_1$ i $\gamma_2$. La unió es fa col·locant en contacte les seves superfícies planes rectangulars mitjançant elèctrodes conductors ideals de gruix menyspreable, tal com es mostra a la figura:

a)

Determineu la resistència elèctrica total entre ambdós elèctrodes.

b)

Si s'aplica una diferència de potencial $V$ entre aquests elèctrodes, trobeu les densitats de potència dissipada en cadascuna de les semi-escorces.

Problema 3. Escorça cilíndrica imantada permanentment

Una escorça cilíndrica de longitud indefinida ($\ell \gg b$) i amb radis interior $a$ i exterior $b$ ($a < b$) té una magnetització permanent no homogènia donada en coordenades cilíndriques per:

$$\vec{M} = M_0 \frac{a}{r} \vec{a}_\varphi$$

on $M_0$ és una constant coneguda.

a)

Calculeu les densitats de corrent i de càrrega d'imantació, tant volumètriques com superficials.

b)

Trobeu el camp d'inducció magnètica $\vec{B}$ a tot l'espai i, a partir d'aquest, deduïu el camp magnètic $\vec{H}$.

c)

Deduïu directament el camp $\vec{H}$ a tot l'espai a partir de les càrregues d'imantació i, a continuació, comproveu el valor de $\vec{B}$ obtingut a l'apartat anterior.

La figura mostra 3 segments amb densitat lineal positiva $+\lambda$ i 3 amb densitat lineal negativa $-\lambda$, formant un hexàgon regular al pla $XY$.

1. Quin és l'angle que forma el camp elèctric total amb l'eix X en els punts A i B situats sobre els eixos?

La figura mostra 3 segments amb densitat lineal positiva $+\lambda$ i 3 amb densitat lineal negativa $-\lambda$, formant un hexàgon regular al pla $XY$.

2. En el mateix hexàgon de la pregunta anterior, quina afirmació sobre el potencial electrostàtic $V(\vec{r})$ és certa?

3. Quina de les forces següents no compleix la tercera llei de Newton (acció i reacció)?

4. Una esfera conductora carregada de radi $a$ està situada a la superfície de separació plana entre dos dielèctrics d'extensions semi-indefinides de permitivitats $\varepsilon_1$ i $\varepsilon_2$. Quina de les següents relacions entre els punts simètrics $A$ i $B$ (a distància $d$ del centre) és certa?

5. Si en un condensador inicialment al buit s'hi introdueix un dielèctric lineal, isòtrop i homogeni, quina afirmació és certa?

6. En un sistema de quatre conductors idèntics connectats a generadors d'igual f.e.m. $\mathcal{E}$ o a terra (com s'indica a la figura), en quina configuració el conductor 1 té més càrrega?

7. Quin dels següents vectors densitat de corrent $\vec{j}$, en coordenades cilíndriques, no pot correspondre a un corrent estacionari a l'interior d'una escorça cilíndrica conductora?

8. Un corrent estacionari passa d'un medi conductor de conductivitat $\gamma_1$ a un altre de conductivitat $\gamma_2$ ($\gamma_2 > \gamma_1$). Indiqueu quina condició de continuïtat a la interfície és correcta:

9. Una làmina conductora molt prima coincideix amb el pla $z = 0$ i transporta un corrent superficial $\vec{K} = K \vec{a}_y$. Quina afirmació és falsa?

10. Respecte a la continuïtat dels camps a la superfície d'un medi imantat sense corrents lliures superficials, quina afirmació és certa?

11. Al circuit de la figura, la barra conductora mòbil (1) es mou cap a la barra (2), inicialment en repòs, amb velocitat inicial $\vec{v}_0$ sota un camp uniforme $\vec{B}$ entrant. Quina afirmació és falsa?

12. Un solenoide toroïdal de radi de secció $a$ té un coeficient d'autoinducció $L_0$ quan és buit, i $L$ quan s'omple d'un medi lineal, isòtrop i homogeni. Quina afirmació és certa?

13. Un condensador cilíndric està connectat a un generador de corrent altern variable en el temps. Quina és la direcció del corrent de desplaçament a l'interior del condensador?

14. La validesa de quina de les següents equacions no es desprèn directament de les equacions de Maxwell?

15. Quina de les següents afirmacions sobre la propagació d'ones electromagnètiques al buit és falsa?

Qüestions 16-20. Pràctiques de laboratori

Trieu la resposta correcta a les qüestions relatives a les pràctiques experimentals (+0,25 punts correcta, -1/12 punts incorrecta):

1.

En un condensador pla amb separació variable $d$ entre plaques es carrega amb una càrrega $Q$. Quina dependència tindrà el voltatge mesurat $V(d)$ si l'electròmetre té una capacitat pròpia $C_E$ nul·la?

2. Es mesura el camp magnètic d'un imant cilíndric de radi 3 mm i longitud 1 cm amb una sonda Hall. Quina afirmació és falsa?

3. Indiqueu quina representació gràfica de la dependència $R(T)$ d'un material amb la temperatura seria incorrecta:

4. La figura mostra quatre experiments d'inducció electromagnètica en moure un imant davant d'una bobina, indicant la polaritat de l'imant, el sentit del moviment i el sentit del corrent induït mesurat. Quin o quins esquemes són físicament correctes?

5. S'observen dos senyals sinusoïdals de la mateixa freqüència a la pantalla d'un oscil·loscopi. Si el període és $T = 1\text{ ms}$ i el temps de decalatge entre ells és $t = 250\text{ }\mu\text{s}$, quin és el desfasament $\varphi$ entre tots dos?

.