Ejercicio Problem 2 · Matemàtiques URV 2021

Tema: Integrals dobles i triples · Del examen Examen Segon Parcial 2021 (2021)

Enunciado

Problem 2. Double Integral over a Region Bounded by Conics

Consider the region D⊂R2D \subset \mathbb{R}^2 defined by:D={(x,y)∈R2:x29+y24≤1,x24−y2≥1,x≤0,y≤0}D = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1, \quad \frac{x^2}{4} - y^2 \ge 1, \quad x \le 0, \quad y \le 0 \right\}

a)

Identify the geometric curves bounding the domain DD and find their intersection points in the third quadrant.

x=x = y=y =

b)

Set up the double integral ∬Dxy dA\iint_D xy\,dA by integrating with respect to xx first (horizontal slices) and by integrating with respect to yy first (vertical slices).

Enunciado: Ejercicio Problem 2 · Matemàtiques URV 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Intersection point xx-coordinate in the third quadrant

Solución: −65-\frac{6}{\sqrt{5}} / −365-\sqrt{\frac{36}{5}} / −2,68-2{,}68

a) Intersection point yy-coordinate in the third quadrant

Solución: −25-\frac{2}{\sqrt{5}} / −45-\sqrt{\frac{4}{5}} / −0,89-0{,}89

b) Set up the double integral ∬Dxy dA\iint_D xy\,dA integrating with respect to xx first and with respect to yy first

Solución: Horizontal slices: ∫−2/50[∫−9−9y24−4+4y2xy dx]dy\int_{-2/\sqrt{5}}^{0} \left[ \int_{-\sqrt{9 - \frac{9y^2}{4}}}^{-\sqrt{4 + 4y^2}} xy\,dx \right] dy Vertical slices: ∫−3−36/5[∫−4−49x20xy dy]dx+∫−36/5−2[∫−x24−10xy dy]dx\int_{-3}^{-\sqrt{36/5}} \left[ \int_{-\sqrt{4 - \frac{4}{9}x^2}}^{0} xy\,dy \right] dx + \int_{-\sqrt{36/5}}^{-2} \left[ \int_{-\sqrt{\frac{x^2}{4}-1}}^{0} xy\,dy \right] dx

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