Examen de Física URV 2019 · Segon Parcial (Gener 2019)

Pregunta 1 (10 punts). Règim transitori en circuit RL

Considereu el circuit de la figura, format per una inductància $L$ en sèrie amb un resistor de resistència $R$. A l'instant $t = 0\text{ s}$, l'interruptor $S$ es connecta de manera que la branca $R - L$ queda alimentada per una font real de tensió amb força electromotriu $V_0$ i resistència interna $r$.

a)

Trobeu la constant de temps $\tau$ del circuit i deduïu les expressions analítiques de la intensitat de corrent que travessa la bobina, $i_L(t)$, i de la diferència de potencial en els seus extrems, $v_L(t)$, per a aquesta primera fase de connexió. [4 punts]

b)

Amb els valors numèrics $R = 100\ \Omega$, $L = 3\text{ H}$, $V_0 = 100\text{ V}$ i $r = 50\ \Omega$, determineu el corrent $i_L$ i la tensió $v_L$ quan han transcorregut $t = 30\text{ ms}$. [2 punts]

c)

En l'instant $t = 2\text{ s}$, l'interruptor $S$ commuta cap a la segona posició, aïllant la font i substituint-la per un curtcircuit. Calculeu la nova constant de temps del circuit en aquesta descàrrega i determineu el corrent $i_L(t)$ i la caiguda de tensió $v_L(t)$ transcorreguts $30\text{ ms}$ des del moment de la desconnexió. Justifiqueu detalladament les condicions inicials emprades. [4 punts]

Circuit RLC en règim altern sinusoidal

En el circuit de corrent altern de la figura, el generador lliura una tensió instantània donada per $v_{ab}(t) = V_0 \cos(\omega t)$, sent $V_0$ l'amplitud i $\omega$ la pulsació angular.

Dades del circuit: $R = 400\ \Omega$, $L = 4\ \text{mH}$, $C = 50\ \text{nF}$, $V_0 = 24\ \text{V}$ i $\omega = 100 \cdot 10^3\ \text{rad/s}$.

a)

Obtingueu l'expressió analítica simplificada de la impedància equivalent connectada entre els terminals del generador ($Z_{ab}$), indicant clarament la part real ($Z_R$) i la part imaginària ($Z_I$).

b)

Calculeu l'amplitud i el desfase del corrent que circula pel resistor, $i_R(t)$, així com de la tensió als extrems del condensador, $v_C(t)$.

Circuit RLC en règim altern sinusoidal

En el circuit de corrent altern de la figura, el generador lliura una tensió instantània donada per $v_{ab}(t) = V_0 \cos(\omega t)$, sent $V_0$ l'amplitud i $\omega$ la pulsació angular.

Dades del circuit: $R = 400\ \Omega$, $L = 4\ \text{mH}$, $C = 50\ \text{nF}$, $V_0 = 24\ \text{V}$ i $\omega = 100 \cdot 10^3\ \text{rad/s}$.

c)

Determineu el factor de potència del circuit i la potència mitjana activa consumida. (3 punts)

Pregunta 3 (10 punts). Silici dopat i fotoconductivitat

Una làmina plana de silici és sotmesa a un dopatge uniforme amb àtoms d'arsènic (As), assolint una concentració d'impureses donadores de $N_D = 10^{14}\text{ cm}^{-3}$.

Constants físiques:

• Massa en repòs de l'electró: $m_0 = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg}$; masses efectives: $m_n = 0{,}35m_0$, $m_p = 0{,}62m_0$.

• Constant de Planck: $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} = 4{,}14 \cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}$.

• Constant de Boltzmann: $k_B = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K} = 8{,}63 \cdot 10^{-5}\text{ eV/K}$.

• Banda prohibida del Si a 300 K: $E_g = 1{,}14\text{ eV}$.

• Càrrega elemental: $q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C}$.

a)

A temperatura ambient ($T = 300\text{ K}$), determineu la densitat d'electrons lliures ($n$) i de forats ($p$), així com la desviació del nivell de Fermi respecte al nivell intrínsec, és a dir, $E_F - E_{F,i}$ en electronvolts. [4 punts]

b)

Prenent com a valors de mobilitat electrònica $\mu_n = 1250\text{ cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})$ i de mobilitat de forats $\mu_p = 375\text{ cm}^2/(\text{V}\cdot\text{s})$, avalueu la conductivitat elèctrica i la resistivitat del material resultant a les fosques. [4 punts]

c)

Si s'irradia la mostra amb un feix lluminós constant que produeix una taxa de generació fotònica de parells electró-forat $G_L = 3 \cdot 10^{18}\text{ cm}^{-3}\text{s}^{-1}$, trobeu el nou valor assolit per la conductivitat. Considereu els temps de vida mitjana dels portadors: $\tau_n = 7\text{ }\mu\text{s}$ i $\tau_p = 4\text{ }\mu\text{s}$. [2 punts]