Ejercicio 2.c (Cálculo) · Matemáticas Aplicadas URL Exámenes resueltos de Matemáticas Aplicadas

Tema: EDO lineales de orden superior · Del examen Exámenes resueltos de Matemáticas Aplicadas

Enunciado

Ejercicio 2 (Cálculo) (3 puntos). Integrales indefinidas y comprobación de ecuación diferencial

Resuelve las siguientes cuestiones:

c.

[1 punto] Demuestra que la función y=sin⁡(x)y = \sin(x) satisface la ecuación diferencial:

y⋅y′′+y′⋅y′′′=−1y\cdot y'' + y'\cdot y''' = -1

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

c. [1 punto] Demuestra que la función y = sin(x) satisface la ecuación diferencial: y·y'' + y'·y''' = -1

Solución: Calculando las derivadas sucesivas: y′=cos⁡(x),y′′=−sin⁡(x),y′′′=−cos⁡(x)y' = \cos(x),\quad y'' = -\sin(x),\quad y''' = -\cos(x) Sustituyendo en la ecuación: y⋅y′′+y′⋅y′′′=sin⁡(x)(−sin⁡(x))+cos⁡(x)(−cos⁡(x))=−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=−1y\cdot y'' + y'\cdot y''' = \sin(x)(-\sin(x)) + \cos(x)(-\cos(x)) = -(\sin^2(x) + \cos^2(x)) = -1

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