Exercici 1 (05-06-2019) · Estadística URL Juny 2021

a. A partir dels resums numèrics i diagrames de dispersió, valoreu si convé transformar logarítmicament alguna variable i formuleu el model de regressió teòric que proposaríeu.

Solución: En el gràfic de dispersió de la resposta (RELRENDI) s'aprecia una forta concentració d'observacions en valors reduïts i una variabilitat creixent a mesura que augmenten els valors, patró que també mostren les variables explicatives. Això aconsella aplicar la transformació logarítmica. Cal tenir en compte, però, que la variable CACHE té un valor mínim de 0, per la qual cosa no s'hi pot aplicar el logaritme directe. Per tant, l'especificació proposada és: $$\log(\mathrm{RELRENDI})_i = \beta_1 + \beta_2\log(\mathrm{CICLOTIM})_i + \beta_3\log(\mathrm{MINMEM})_i + \beta_4\log(\mathrm{MAXMEM})_i + \beta_5\mathrm{CACHE}_i + u_i$$

b. A partir dels gràfics de diagnòstic següents, avalueu el grau de compliment dels supòsits bàsics (linealitat, homoscedasticitat, normalitat i valors atípics o influents) indicant el gràfic utilitzat en cada cas i feu les propostes pertinents:

Solución: • Linealitat ($E(u) = 0$): S'analitzen els gràfics de residus studentitzats enfront de cadascuna de les variables explicatives. No es detecten desviacions sistemàtiques respecte a l'eix zero, tot i que hi ha heterogeneïtat en la dispersió i alguns punts allunyats. • Homoscedasticitat: Es comprova en el gràfic de residus studentitzats enfront de les prediccions (fitted values). S'observa clarament una major dispersió a mesura que creixen els valors ajustats (forma d'embut), la qual cosa assenyala heteroscedasticitat. La transformació logarítmica és recomanable per corregir-ho. • Normalitat: S'examina el diagrama Normal Q-Q Plot dels residus studentitzats. Encara que s'aprecia un cert desviament a les cues, els punts s'ajusten raonablement a la recta i, atesa la mida mostral prou gran ($n = 209$), el teorema central del límit garanteix la validesa asimptòtica. • Valors atípics / influents: Al gràfic de la distància de Cook es distingeixen observacions amb valors extremadament alts que tenen un pes excessiu sobre les estimacions. Convindria excloure'ls provisionalment i reestimar per analitzar-ne l'impacte.

Valor de l'estadístic t per a log(MINMEM)

Solución: 3,938

Graus de llibertat del numerador per a l'estadístic F

Solución: 4

Graus de llibertat del denominador per a l'estadístic F

Solución: 204

Estadístic de significació global F

Solución: 229,53

d. Comenteu la mesura de la bondat de l'ajust obtinguda i proporcioneu la seva interpretació substantiva.

Solución: El coeficient de determinació múltiple és $R^2 = 0{,}8182$ (o l'ajustat $\bar{R}^2 = 0{,}8147$). Això indica que un 81,47% (o 81,82%) de la variabilitat observada en el rendiment relatiu de les CPU queda explicada conjuntament pel conjunt de variables regressores introduïdes al model.

e. Feu el contrast de significació global i els contrastos individuals dels regressors per a un nivell de risc del 5%, explicitant la hipòtesi nul·la de cadascun.

Solución: • Significació global: $H_0: \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta_5 = 0$ vs $H_1$: almenys un $\beta_j \neq 0$. Com que el p-valor associat a $F$ és inferior a $2{,}2 \times 10^{-16}$ ($< 0{,}05$), es rebutja clarament la hipòtesi nul·la; el model en conjunt és significatiu. • Significació individual: Per a cadascuna de les variables es planteja $H_0: \beta_j = 0$ enfront d'$H_1: \beta_j \neq 0$ ($j = 2, 3, 4, 5$). Tots els p-valors dels coeficients són menors de 0,05 (fins i tot menors de 0,01), de manera que cadascun dels atributs influeix de forma estadísticament significativa sobre el rendiment.

f. Interpreteu l'efecte que tenen les variables MINMEM i CACHE sobre el rendiment relatiu emprant els intervals de confiança estimats.

Solución: • MINMEM: Com que està en escala log-log, el paràmetre s'interpreta com una elasticitat. Mantenint fixes les altres variables, si la memòria mínima s'incrementa en un 1%, el rendiment relatiu esperat creixerà entre un 0,0957% i un 0,2876% (amb una confiança del 95%). • CACHE: En tractar-se d'un model log-lin, mantenint constants la resta de variables, l'augment d'un kbyte en la memòria cau fa créixer el rendiment mitjà un factor aproximat de $(e^{\beta_5} - 1) \times 100\%$. Amb els límits de l'interval de confiança, l'increment se situa entre $(e^{0{,}0075} - 1) \times 100 = 0{,}753\%$ i $(e^{0{,}01108} - 1) \times 100 = 1{,}114\%$.